Шаг 1
Уравнение вида $ (A)^2 = (B)^2 $ равносильно двум случаям: $ A = B $ или $ A = -B $.
Шаг 2
Рассмотрим случай $ A = B $:
$ 2x + a + 1 - \tan x = 2x + a - 1 + \tan x $.
После сокращения $ 2x + a $ получаем $ 1 - \tan x = -1 + \tan x $, откуда $ 2\tan x = 2 $ и $ \tan x = 1 $.
$ 2x + a + 1 - \tan x = 2x + a - 1 + \tan x $.
После сокращения $ 2x + a $ получаем $ 1 - \tan x = -1 + \tan x $, откуда $ 2\tan x = 2 $ и $ \tan x = 1 $.
Шаг 3
На отрезке $ [0; \pi] $ уравнение $ \tan x = 1 $ имеет единственное решение $ x = \frac{\pi}{4} $. Этот корень появляется всегда, независимо от $ a $.
Шаг 4
Рассмотрим случай $ A = -B $:
$ 2x + a + 1 - \tan x = - (2x + a - 1 + \tan x) $.
Упрощаем: $ 2x + a + 1 - \tan x = -2x - a + 1 - \tan x $.
Сокращаем $ 1 - \tan x $: $ 2x + a = -2x - a $, откуда $ 4x + 2a = 0 $ и $ x = -\frac{a}{2} $.
$ 2x + a + 1 - \tan x = - (2x + a - 1 + \tan x) $.
Упрощаем: $ 2x + a + 1 - \tan x = -2x - a + 1 - \tan x $.
Сокращаем $ 1 - \tan x $: $ 2x + a = -2x - a $, откуда $ 4x + 2a = 0 $ и $ x = -\frac{a}{2} $.
Шаг 5
Чтобы исходное уравнение имело единственное решение (а именно $ x = \frac{\pi}{4} $), необходимо, чтобы корень $ x = -\frac{a}{2} $ либо не принадлежал отрезку $ [0; \pi] $, либо совпадал с $ \frac{\pi}{4} $ (тогда оба случая дают один и тот же корень).
Шаг 6
Условие $ -\frac{a}{2} \notin [0; \pi] $ означает:
$ -\frac{a}{2} < 0 $ или $ -\frac{a}{2} > \pi $.
Это даёт $ a > 0 $ или $ a < -2\pi $.
$ -\frac{a}{2} < 0 $ или $ -\frac{a}{2} > \pi $.
Это даёт $ a > 0 $ или $ a < -2\pi $.
Шаг 7
Условие совпадения корней: $ -\frac{a}{2} = \frac{\pi}{4} $, откуда $ a = -\frac{\pi}{2} $.
Окончательный ответ:
\( a \in (0, +\infty) \cup (-\infty, -2\pi) \cup \left\{ -\frac{\pi}{2} \right\} \).