а) Доказательство, что $AH = AO$
Шаг 1: Найдём углы треугольника.
$\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 15^\circ$, тогда $\angle C = 180^\circ - 120^\circ - 15^\circ = 45^\circ$.
Шаг 2: Для тупоугольного треугольника ортоцентр $H$ и центр описанной окружности $O$ лежат вне треугольника.
Известное свойство: $AH = 2R \cdot |\cos A|$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Вычислим: $AH = 2R \cdot |\cos 120^\circ| = 2R \cdot \left| -\frac{1}{2} \right| = R$.
Так как $AO = R$, получаем $AH = AO$.
$\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 15^\circ$, тогда $\angle C = 180^\circ - 120^\circ - 15^\circ = 45^\circ$.
Шаг 2: Для тупоугольного треугольника ортоцентр $H$ и центр описанной окружности $O$ лежат вне треугольника.
Известное свойство: $AH = 2R \cdot |\cos A|$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Вычислим: $AH = 2R \cdot |\cos 120^\circ| = 2R \cdot \left| -\frac{1}{2} \right| = R$.
Так как $AO = R$, получаем $AH = AO$.
б) Площадь $\triangle AHO$ при $BC = 3$, $\angle ABC = 15^\circ$
Шаг 1: Найдём $R$ по теореме синусов.
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$
$\frac{3}{\sin 120^\circ} = 2R$, $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \Rightarrow \frac{6}{\sqrt{3}} = 2R \Rightarrow R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
Следовательно, $AO = AH = \sqrt{3}$.
Шаг 2: Найдём угол $HAO$.
Известное свойство: $\angle HAO = |\angle B - \angle C| = |15^\circ - 45^\circ| = 30^\circ$.
Шаг 3: Площадь равнобедренного треугольника $AHO$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AO \cdot \sin(\angle HAO) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$
$\frac{3}{\sin 120^\circ} = 2R$, $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \Rightarrow \frac{6}{\sqrt{3}} = 2R \Rightarrow R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
Следовательно, $AO = AH = \sqrt{3}$.
Шаг 2: Найдём угол $HAO$.
Известное свойство: $\angle HAO = |\angle B - \angle C| = |15^\circ - 45^\circ| = 30^\circ$.
Шаг 3: Площадь равнобедренного треугольника $AHO$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AO \cdot \sin(\angle HAO) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.
Окончательный ответ:
$0.75$