Задание 1E38DC

Введём систему координат. Поместим центр нижнего основания в точку $O(0,0,0)$, а центр верхнего основания в $O_1(0,0,h)$, где $h=15$ (так как $BB_1$ — образующая). Ось цилиндра — $OO_1$.

Пусть радиус основания $r$. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания. Без ограничения общности положим $B(r,0,0)$. Пусть $A(a,b,0)$, где $a^2+b^2=r^2$.

Из условия $AB=20$:
$(a-r)^2+b^2=400$.
Подставляя $b^2=r^2-a^2$, получаем:
$(a-r)^2 + r^2 - a^2 = 400$.
Раскрываем: $a^2 - 2ar + r^2 + r^2 - a^2 = 400$.
Упрощаем: $2r^2 - 2ar = 400$, откуда $r^2 - ar = 200$.

По условию отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. Это означает, что точка $C_1$ симметрична точке $A$ относительно оси. Следовательно, $C_1(-a,-b,h)$.

Точка $B_1$ — верхний конец образующей через $B$, поэтому $B_1(r,0,h)$. Из условия $B_1C_1=21$:
$(r+a)^2+b^2=441$.
Подставляя $b^2=r^2-a^2$, получаем:
$(r+a)^2 + r^2 - a^2 = 441$.
Раскрываем: $r^2+2ar+a^2 + r^2 - a^2 = 441$.
Упрощаем: $2r^2+2ar=441$, откуда $r^2+ar=220.5$.

Имеем систему двух уравнений:
$r^2 - ar = 200$,
$r^2 + ar = 220.5$.
Складывая их, получаем $2r^2=420.5$, откуда $r^2=210.25$ и $r=14.5$.

Докажем, что угол $ABC_1$ прямой. Найдём векторы:
$\overrightarrow{AB} = (a-r, b, 0)$,
$\overrightarrow{BC_1} = (-a-r, -b, h)$.
Их скалярное произведение:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC_1} = (a-r)(-a-r) + b(-b) + 0 \cdot h = -(a^2 - r^2) - b^2 = -a^2 + r^2 - b^2$.
Так как $a^2+b^2=r^2$, то $r^2 - a^2 - b^2 = 0$. Следовательно, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC_1} = 0$, что означает $AB \perp BC_1$. Угол $ABC_1$ прямой.

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S = 2\pi r h = 2\pi \cdot 14.5 \cdot 15 = 435\pi$.