Шаг 1
Упростим уравнение.
Дано: $|x^2 + a^2 - 6x - 4a| = 2x + 2a$.
Заметим: $x^2 + a^2 - 6x - 4a = (x-3)^2 + (a-2)^2 - 13$.
Правая часть: $2x+2a = 2(x+a)$.
Уравнение принимает вид: $|(x-3)^2 + (a-2)^2 - 13| = 2(x+a)$.
Дано: $|x^2 + a^2 - 6x - 4a| = 2x + 2a$.
Заметим: $x^2 + a^2 - 6x - 4a = (x-3)^2 + (a-2)^2 - 13$.
Правая часть: $2x+2a = 2(x+a)$.
Уравнение принимает вид: $|(x-3)^2 + (a-2)^2 - 13| = 2(x+a)$.
Шаг 2
Условие на правую часть.
Так как модуль неотрицателен, $2(x+a) \ge 0 \Rightarrow x \ge -a$.
Так как модуль неотрицателен, $2(x+a) \ge 0 \Rightarrow x \ge -a$.
Шаг 3
Раскрытие модуля.
Возможны два случая:
1. $(x-3)^2 + (a-2)^2 - 13 \ge 0$:
Тогда $(x-3)^2 + (a-2)^2 - 13 = 2x+2a$.
После упрощения получаем: $x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0$.
2. $(x-3)^2 + (a-2)^2 - 13 < 0$:
Тогда $-\left[(x-3)^2 + (a-2)^2 - 13\right] = 2x+2a$.
После упрощения получаем: $x^2 - 4x + a^2 - 2a = 0$.
Итак, имеем два квадратных уравнения:
(1) $x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0$,
(2) $x^2 - 4x + a^2 - 2a = 0$.
Возможны два случая:
1. $(x-3)^2 + (a-2)^2 - 13 \ge 0$:
Тогда $(x-3)^2 + (a-2)^2 - 13 = 2x+2a$.
После упрощения получаем: $x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0$.
2. $(x-3)^2 + (a-2)^2 - 13 < 0$:
Тогда $-\left[(x-3)^2 + (a-2)^2 - 13\right] = 2x+2a$.
После упрощения получаем: $x^2 - 4x + a^2 - 2a = 0$.
Итак, имеем два квадратных уравнения:
(1) $x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0$,
(2) $x^2 - 4x + a^2 - 2a = 0$.
Шаг 4
Условия на корни.
Для каждого уравнения корни должны удовлетворять:
- для (1): $(x-3)^2 + (a-2)^2 \ge 13$,
- для (2): $(x-3)^2 + (a-2)^2 < 13$,
- общее: $x \ge -a$ (из неотрицательности правой части).
Все 4 корня должны быть различны.
Для каждого уравнения корни должны удовлетворять:
- для (1): $(x-3)^2 + (a-2)^2 \ge 13$,
- для (2): $(x-3)^2 + (a-2)^2 < 13$,
- общее: $x \ge -a$ (из неотрицательности правой части).
Все 4 корня должны быть различны.
Шаг 5
Дискриминанты.
$D_1 = 64 - 4(a^2 - 6a) = -4(a^2 - 6a - 16)$,
$D_2 = 16 - 4(a^2 - 2a) = -4(a^2 - 2a - 4)$.
Для наличия двух корней у каждого уравнения: $D_1 > 0$ и $D_2 > 0$.
$D_1 > 0 \Rightarrow a^2 - 6a - 16 < 0 \Rightarrow a \in (-2, 8)$.
$D_2 > 0 \Rightarrow a^2 - 2a - 4 < 0 \Rightarrow a \in (1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5})$.
Пересечение: $a \in (1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5})$, так как $1+\sqrt{5} \approx 3.236 < 8$ и $1-\sqrt{5} \approx -1.236 > -2$.
$D_1 = 64 - 4(a^2 - 6a) = -4(a^2 - 6a - 16)$,
$D_2 = 16 - 4(a^2 - 2a) = -4(a^2 - 2a - 4)$.
Для наличия двух корней у каждого уравнения: $D_1 > 0$ и $D_2 > 0$.
$D_1 > 0 \Rightarrow a^2 - 6a - 16 < 0 \Rightarrow a \in (-2, 8)$.
$D_2 > 0 \Rightarrow a^2 - 2a - 4 < 0 \Rightarrow a \in (1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5})$.
Пересечение: $a \in (1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5})$, так как $1+\sqrt{5} \approx 3.236 < 8$ и $1-\sqrt{5} \approx -1.236 > -2$.
Шаг 6
Корни уравнений.
(1) $x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - a^2 + 6a}$,
(2) $x_{3,4} = 2 \pm \sqrt{4 - a^2 + 2a}$.
(1) $x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - a^2 + 6a}$,
(2) $x_{3,4} = 2 \pm \sqrt{4 - a^2 + 2a}$.
Шаг 7
Условие $x \ge -a$ для всех корней.
Наименьший корень — $x_{3} = 2 - \sqrt{4 - a^2 + 2a}$. Требуем:
$2 - \sqrt{4 - a^2 + 2a} \ge -a$.
При $a \ge -2$ возводим в квадрат: $(2+a)^2 \ge 4 - a^2 + 2a$.
После упрощения: $2a(a+1) \ge 0 \Rightarrow a \le -1$ или $a \ge 0$.
С учётом $a \ge -2$: $a \in [-2, -1] \cup [0, +\infty)$.
Пересекаем с $a \in (1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5})$:
$[-2, -1] \cap (-1.236, 3.236) = (-1.236, -1]$,
$[0, +\infty) \cap (-1.236, 3.236) = [0, 3.236)$.
Промежуточный результат: $a \in (-1.236, -1] \cup [0, 3.236)$.
Наименьший корень — $x_{3} = 2 - \sqrt{4 - a^2 + 2a}$. Требуем:
$2 - \sqrt{4 - a^2 + 2a} \ge -a$.
При $a \ge -2$ возводим в квадрат: $(2+a)^2 \ge 4 - a^2 + 2a$.
После упрощения: $2a(a+1) \ge 0 \Rightarrow a \le -1$ или $a \ge 0$.
С учётом $a \ge -2$: $a \in [-2, -1] \cup [0, +\infty)$.
Пересекаем с $a \in (1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5})$:
$[-2, -1] \cap (-1.236, 3.236) = (-1.236, -1]$,
$[0, +\infty) \cap (-1.236, 3.236) = [0, 3.236)$.
Промежуточный результат: $a \in (-1.236, -1] \cup [0, 3.236)$.
Шаг 8
Проверка области модуля и совпадения корней.
Корни уравнений должны строго удовлетворять своим неравенствам (вне окружности для (1), внутри для (2)).
При $a = -1$: корни (1): $1$ и $7$; корни (2): $1$ и $3$ — совпадение $x=1$, не 4 различных корня.
При $a = 0$: корни (1): $0$ и $8$; корни (2): $0$ и $4$ — совпадение $x=0$, не 4 различных корня.
При $a = 1-\sqrt{5}$ и $a = 1+\sqrt{5}$ дискриминант $D_2 = 0$, уравнение (2) имеет один корень — не 4 корня.
Проверка промежуточных значений (например, $a=0.5$, $a=1$, $a=3$) показывает, что условия выполняются.
Корни уравнений должны строго удовлетворять своим неравенствам (вне окружности для (1), внутри для (2)).
При $a = -1$: корни (1): $1$ и $7$; корни (2): $1$ и $3$ — совпадение $x=1$, не 4 различных корня.
При $a = 0$: корни (1): $0$ и $8$; корни (2): $0$ и $4$ — совпадение $x=0$, не 4 различных корня.
При $a = 1-\sqrt{5}$ и $a = 1+\sqrt{5}$ дискриминант $D_2 = 0$, уравнение (2) имеет один корень — не 4 корня.
Проверка промежуточных значений (например, $a=0.5$, $a=1$, $a=3$) показывает, что условия выполняются.
Шаг 9
Итоговый промежуток.
Исключаем граничные точки $a = -1$, $a = 0$, $a = 1-\sqrt{5}$, $a = 1+\sqrt{5}$.
Окончательно: $a \in (-1.236, -1) \cup (0, 3.236)$.
Исключаем граничные точки $a = -1$, $a = 0$, $a = 1-\sqrt{5}$, $a = 1+\sqrt{5}$.
Окончательно: $a \in (-1.236, -1) \cup (0, 3.236)$.
Окончательный ответ:
$a \in (-1.236, -1) \cup (0, 3.236)$