Шаг 1
Исходная система:
1) $x \le 2a + 6$
2) $6x \ge x^{2} + a^{2}$
3) $x + a > 0$
Требуется найти все $a$, при которых существует $x \in [1, 2]$, удовлетворяющий всем трём неравенствам.
1) $x \le 2a + 6$
2) $6x \ge x^{2} + a^{2}$
3) $x + a > 0$
Требуется найти все $a$, при которых существует $x \in [1, 2]$, удовлетворяющий всем трём неравенствам.
Шаг 2
Преобразуем второе неравенство:
$x^{2} - 6x + a^{2} \le 0$.
Дискриминант $D = 36 - 4a^{2} = 4(9 - a^{2})$.
При $|a| > 3$ решений нет. При $|a| \le 3$ решения: $x \in \left[3 - \sqrt{9 - a^{2}},\ 3 + \sqrt{9 - a^{2}}\right]$.
Чтобы этот отрезок пересекался с $[1, 2]$, необходимо $3 - \sqrt{9 - a^{2}} \le 2$.
Отсюда $\sqrt{9 - a^{2}} \ge 1 \Rightarrow a^{2} \le 8 \Rightarrow |a| \le 2\sqrt{2}$.
Учитывая $|a| \le 3$, получаем $a \in \left[-2\sqrt{2},\ 2\sqrt{2}\right]$.
При таких $a$ допустимые $x$ из второго неравенства на $[1, 2]$: $x \in \left[\max\left(1,\ 3 - \sqrt{9 - a^{2}}\right),\ 2\right]$.
$x^{2} - 6x + a^{2} \le 0$.
Дискриминант $D = 36 - 4a^{2} = 4(9 - a^{2})$.
При $|a| > 3$ решений нет. При $|a| \le 3$ решения: $x \in \left[3 - \sqrt{9 - a^{2}},\ 3 + \sqrt{9 - a^{2}}\right]$.
Чтобы этот отрезок пересекался с $[1, 2]$, необходимо $3 - \sqrt{9 - a^{2}} \le 2$.
Отсюда $\sqrt{9 - a^{2}} \ge 1 \Rightarrow a^{2} \le 8 \Rightarrow |a| \le 2\sqrt{2}$.
Учитывая $|a| \le 3$, получаем $a \in \left[-2\sqrt{2},\ 2\sqrt{2}\right]$.
При таких $a$ допустимые $x$ из второго неравенства на $[1, 2]$: $x \in \left[\max\left(1,\ 3 - \sqrt{9 - a^{2}}\right),\ 2\right]$.
Шаг 3
Первое неравенство $x \le 2a + 6$. Чтобы существовал $x \in [1, 2]$, нужно $2a + 6 \ge 1 \Rightarrow a \ge -\frac{5}{2}$.
Шаг 4
Объединим условия на $x$ из первого и второго неравенств.
Пусть $L = \max\left(1,\ 3 - \sqrt{9 - a^{2}}\right)$, $R = \min\left(2,\ 2a + 6\right)$.
Нужно $L \le R$. Рассмотрим два случая.
Случай A: $3 - \sqrt{9 - a^{2}} \le 1 \Rightarrow \sqrt{9 - a^{2}} \ge 2 \Rightarrow a^{2} \le 5 \Rightarrow |a| \le \sqrt{5}$. Тогда $L = 1$.
Условие $1 \le R$:
- Если $2a + 6 \ge 2$ ($a \ge -2$), то $R = 2$, условие выполнено.
- Если $2a + 6 < 2$ ($a < -2$), то $R = 2a + 6$, условие $1 \le 2a + 6$ даёт $a \ge -\frac{5}{2}$.
Итак, в случае A: $a \in \left[-\frac{5}{2},\ \sqrt{5}\right]$.
Случай B: $3 - \sqrt{9 - a^{2}} > 1 \Rightarrow a^{2} > 5 \Rightarrow |a| > \sqrt{5}$, но с учётом шага 2: $a \in \left(-2\sqrt{2},\ -\sqrt{5}\right) \cup \left(\sqrt{5},\ 2\sqrt{2}\right]$.
Здесь $L = 3 - \sqrt{9 - a^{2}}$. Условие $L \le R$:
- Если $a \ge -2$, то $R = 2$, условие $3 - \sqrt{9 - a^{2}} \le 2$ выполнено по определению случая B.
- Если $a < -2$, то $R = 2a + 6$, условие $3 - \sqrt{9 - a^{2}} \le 2a + 6$.
Преобразуем: $\sqrt{9 - a^{2}} \ge -3 - 2a$. При $a < -2$ правая часть положительна. Возводя в квадрат, получаем $5a^{2} + 12a \le 0 \Rightarrow a \in \left[-\frac{12}{5},\ 0\right]$.
С учётом $a < -2$ и $|a| > \sqrt{5}$, получаем $a \in \left[-\frac{12}{5},\ -\sqrt{5}\right)$.
Объединяя случаи A и B, получаем $a \in \left[-\frac{5}{2},\ 2\sqrt{2}\right]$.
Пусть $L = \max\left(1,\ 3 - \sqrt{9 - a^{2}}\right)$, $R = \min\left(2,\ 2a + 6\right)$.
Нужно $L \le R$. Рассмотрим два случая.
Случай A: $3 - \sqrt{9 - a^{2}} \le 1 \Rightarrow \sqrt{9 - a^{2}} \ge 2 \Rightarrow a^{2} \le 5 \Rightarrow |a| \le \sqrt{5}$. Тогда $L = 1$.
Условие $1 \le R$:
- Если $2a + 6 \ge 2$ ($a \ge -2$), то $R = 2$, условие выполнено.
- Если $2a + 6 < 2$ ($a < -2$), то $R = 2a + 6$, условие $1 \le 2a + 6$ даёт $a \ge -\frac{5}{2}$.
Итак, в случае A: $a \in \left[-\frac{5}{2},\ \sqrt{5}\right]$.
Случай B: $3 - \sqrt{9 - a^{2}} > 1 \Rightarrow a^{2} > 5 \Rightarrow |a| > \sqrt{5}$, но с учётом шага 2: $a \in \left(-2\sqrt{2},\ -\sqrt{5}\right) \cup \left(\sqrt{5},\ 2\sqrt{2}\right]$.
Здесь $L = 3 - \sqrt{9 - a^{2}}$. Условие $L \le R$:
- Если $a \ge -2$, то $R = 2$, условие $3 - \sqrt{9 - a^{2}} \le 2$ выполнено по определению случая B.
- Если $a < -2$, то $R = 2a + 6$, условие $3 - \sqrt{9 - a^{2}} \le 2a + 6$.
Преобразуем: $\sqrt{9 - a^{2}} \ge -3 - 2a$. При $a < -2$ правая часть положительна. Возводя в квадрат, получаем $5a^{2} + 12a \le 0 \Rightarrow a \in \left[-\frac{12}{5},\ 0\right]$.
С учётом $a < -2$ и $|a| > \sqrt{5}$, получаем $a \in \left[-\frac{12}{5},\ -\sqrt{5}\right)$.
Объединяя случаи A и B, получаем $a \in \left[-\frac{5}{2},\ 2\sqrt{2}\right]$.
Шаг 5
Учтём третье неравенство $x + a > 0$.
При $a \ge 0$ оно выполняется автоматически для $x \ge 1$.
При $a < 0$ нужно, чтобы существовал $x$ из допустимого множества, больший $-a$.
Поскольку $x \le \min(2,\ 2a + 6)$, необходимо $\min(2,\ 2a + 6) > -a$.
- Если $a \ge -2$, то $\min = 2$, условие $2 > -a \Rightarrow a > -2$.
- Если $a < -2$, то $\min = 2a + 6$, условие $2a + 6 > -a \Rightarrow a > -2$, что противоречит $a < -2$.
Значит, необходимо $a > -2$.
При $a \ge 0$ оно выполняется автоматически для $x \ge 1$.
При $a < 0$ нужно, чтобы существовал $x$ из допустимого множества, больший $-a$.
Поскольку $x \le \min(2,\ 2a + 6)$, необходимо $\min(2,\ 2a + 6) > -a$.
- Если $a \ge -2$, то $\min = 2$, условие $2 > -a \Rightarrow a > -2$.
- Если $a < -2$, то $\min = 2a + 6$, условие $2a + 6 > -a \Rightarrow a > -2$, что противоречит $a < -2$.
Значит, необходимо $a > -2$.
Шаг 6
Пересечение условий: из шага 4 $a \in \left[-\frac{5}{2},\ 2\sqrt{2}\right]$, из шага 5 $a > -2$.
Получаем $a \in (-2,\ 2\sqrt{2}]$.
Проверка $a = -2$: тогда $x \le 2$ (из первого), $x > 2$ (из третьего) — решений нет.
При $a = 2\sqrt{2}$ есть решение $x = 2$.
Итоговый интервал: $(-2,\ 2\sqrt{2}]$.
Получаем $a \in (-2,\ 2\sqrt{2}]$.
Проверка $a = -2$: тогда $x \le 2$ (из первого), $x > 2$ (из третьего) — решений нет.
При $a = 2\sqrt{2}$ есть решение $x = 2$.
Итоговый интервал: $(-2,\ 2\sqrt{2}]$.
Окончательный ответ:
$(-2,\ 2\sqrt{2}]$.