Шаг 1
Найдем ежемесячное уменьшение долга.
Результат:
По условию, за 15 месяцев долг упал с 1100 до 500 тысяч рублей, поэтому уменьшение за месяц: $d = \frac{1100 - 500}{15} = 40$ тысяч рублей.
Шаг 2
Обозначим долг на 15-е число месяца $k$: $A_k = 1100 - 40k$, где $k = 0, 1, \dots, 15$. Тогда $A_0 = 1100$, $A_{15} = 500$.
Шаг 3
В месяце $k$ (для $k = 1, \dots, 15$) долг на 1-е число равен $A_{k-1}$. После начисления процентов он становится $A_{k-1}\left(1 + \frac{r}{100}\right)$.
Результат:
Платеж в таком месяце состоит из процентов $A_{k-1} \cdot \frac{r}{100}$ и фиксированной части $40$, то есть равен $A_{k-1} \cdot \frac{r}{100} + 40$.
Шаг 4
В 16-м месяце долг на 1-е число равен $A_{15} = 500$. После начисления процентов он становится $500\left(1 + \frac{r}{100}\right)$.
Результат:
Чтобы погасить кредит полностью, платеж в 16-м месяце должен быть равен $500\left(1 + \frac{r}{100}\right)$.
Шаг 5
Общая сумма всех платежей равна сумме платежей за первые 15 месяцев и платежа за 16-й месяц. По условию она составляет 1228 тысяч рублей.
Результат:
Уравнение: $\sum_{k=1}^{15} \left( A_{k-1} \cdot \frac{r}{100} + 40 \right) + 500\left(1 + \frac{r}{100}\right) = 1228$.
Шаг 6
Найдем сумму $\sum_{k=1}^{15} A_{k-1} = A_0 + A_1 + \dots + A_{14}$.
Результат:
Это арифметическая прогрессия: $15$ членов, первый $1100$, последний $1100 - 40 \cdot 14 = 540$. Сумма: $\frac{15 \cdot (1100 + 540)}{2} = 12300$.
Шаг 7
Подставим сумму в уравнение:
$12300 \cdot \frac{r}{100} + 15 \cdot 40 + 500 + 500 \cdot \frac{r}{100} = 1228$.
$12300 \cdot \frac{r}{100} + 15 \cdot 40 + 500 + 500 \cdot \frac{r}{100} = 1228$.
Результат:
Упрощаем: $123r + 600 + 500 + 5r = 1228$.
Шаг 8
Решаем уравнение: $128r + 1100 = 1228$, $128r = 128$, $r = 1$.
Окончательный ответ:
1