Шаг 1
Упростим уравнение.
Исходное: $\sin 2x + \sqrt{2} \sin(x + \pi) = 0$.
Используем формулы: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $\sin(x + \pi) = -\sin x$.
Подставляем: $2\sin x \cos x - \sqrt{2} \sin x = 0$.
Исходное: $\sin 2x + \sqrt{2} \sin(x + \pi) = 0$.
Используем формулы: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $\sin(x + \pi) = -\sin x$.
Подставляем: $2\sin x \cos x - \sqrt{2} \sin x = 0$.
Шаг 2
Вынесем общий множитель $\sin x$.
Получаем: $\sin x \left( 2\cos x - \sqrt{2} \right) = 0$.
Уравнение распадается на два случая:
1) $\sin x = 0$
2) $2\cos x - \sqrt{2} = 0$
Получаем: $\sin x \left( 2\cos x - \sqrt{2} \right) = 0$.
Уравнение распадается на два случая:
1) $\sin x = 0$
2) $2\cos x - \sqrt{2} = 0$
Шаг 3
Решаем $\sin x = 0$.
Общее решение: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Общее решение: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Шаг 4
Решаем $2\cos x - \sqrt{2} = 0$.
Получаем $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ для пункта а): $x = \pi n$, $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.
Получаем $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Результат:
Объединяем решения: $x = \pi n$ или $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ для пункта а): $x = \pi n$, $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Найдём корни на отрезке $\left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right]$.
1) Для $x = \pi n$:
$n = -4$ даёт $x = -4\pi$ (левый конец отрезка). При $n = -3$ получаем $x = -3\pi$, что меньше $-\frac{5\pi}{2}$, поэтому не входит.
Из этого семейства подходит только $x = -4\pi$.
2) Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
Решаем неравенство: $-4\pi \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq -\frac{5\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $-4 \leq \frac{1}{4} + 2k \leq -\frac{5}{2}$.
Получаем $-2.125 \leq k \leq -1.375$. Единственное целое $k = -2$.
При $k = -2$: $x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4}$. Этот корень лежит в отрезке.
3) Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
Решаем неравенство: $-4\pi \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq -\frac{5\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $-4 \leq -\frac{1}{4} + 2k \leq -\frac{5}{2}$.
Получаем $-1.875 \leq k \leq -1.125$. Нет целых $k$ в этом промежутке.
Ответ для пункта б): $-4\pi$, $-\frac{15\pi}{4}$.
1) Для $x = \pi n$:
$n = -4$ даёт $x = -4\pi$ (левый конец отрезка). При $n = -3$ получаем $x = -3\pi$, что меньше $-\frac{5\pi}{2}$, поэтому не входит.
Из этого семейства подходит только $x = -4\pi$.
2) Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
Решаем неравенство: $-4\pi \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq -\frac{5\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $-4 \leq \frac{1}{4} + 2k \leq -\frac{5}{2}$.
Получаем $-2.125 \leq k \leq -1.375$. Единственное целое $k = -2$.
При $k = -2$: $x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4}$. Этот корень лежит в отрезке.
3) Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
Решаем неравенство: $-4\pi \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq -\frac{5\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $-4 \leq -\frac{1}{4} + 2k \leq -\frac{5}{2}$.
Получаем $-1.875 \leq k \leq -1.125$. Нет целых $k$ в этом промежутке.
Результат:
На отрезке лежат корни: $x = -4\pi$, $x = -\frac{15\pi}{4}$.
Ответ для пункта б): $-4\pi$, $-\frac{15\pi}{4}$.
Окончательный ответ: