Шаг 1
Пример для суммы 32.
Расставим числа по окружности в порядке: $1, 2, 3, 4, 12, 11, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Модули разностей соседних чисел: $1, 1, 1, 8, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 8$. Их сумма равна $32$.
Расставим числа по окружности в порядке: $1, 2, 3, 4, 12, 11, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Модули разностей соседних чисел: $1, 1, 1, 8, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 8$. Их сумма равна $32$.
Шаг 2
Проверим возможность суммы 29.
Каждая разность $|a-b|$ имеет ту же четность, что и $a+b$ (так как $|a-b| \equiv a+b \pmod{2}$). Сумма всех разностей $\equiv \sum (a+b) \equiv 2\sum a \equiv 0 \pmod{2}$. Значит, сумма разностей всегда четна. Число $29$ нечетно, поэтому такая сумма невозможна.
Каждая разность $|a-b|$ имеет ту же четность, что и $a+b$ (так как $|a-b| \equiv a+b \pmod{2}$). Сумма всех разностей $\equiv \sum (a+b) \equiv 2\sum a \equiv 0 \pmod{2}$. Значит, сумма разностей всегда четна. Число $29$ нечетно, поэтому такая сумма невозможна.
Шаг 3
Наибольшая возможная сумма.
Сумма всех разностей не превышает суммы всех возможных разностей между максимально удаленными числами. Максимум достигается при чередовании наибольших и наименьших чисел, например: $1, 12, 2, 11, 3, 10, 4, 9, 5, 8, 6, 7$. Разности: $11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 4$. Их сумма равна $72$. Это максимальное значение.
Сумма всех разностей не превышает суммы всех возможных разностей между максимально удаленными числами. Максимум достигается при чередовании наибольших и наименьших чисел, например: $1, 12, 2, 11, 3, 10, 4, 9, 5, 8, 6, 7$. Разности: $11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 4$. Их сумма равна $72$. Это максимальное значение.
Окончательный ответ:
$1,2,3,4,12,11,5,6,7,8,9,10$; Нет; $72$