Шаг 1
Из $\angle KLM = \angle LMN = 60^\circ$ (накрест лежащие при секущей $LM$) следует $KL \parallel MN$. Значит $KLMN$ — трапеция.
Шаг 2
В трапеции с вписанной окружностью биссектриса угла при боковой стороне проходит через точку касания противоположного основания. Центр $O$ вписанной окружности лежит на биссектрисе $\angle KLM$, поэтому $LO$ — биссектриса $\angle KLM$. Точка $A$ — точка касания окружности с основанием $MN$. По указанному свойству $A$ лежит на $LO$.
б) Найти $MN$, если $LA = 3$.
б) Найти $MN$, если $LA = 3$.
Шаг 1
В трапеции $KLMN$: $KL \parallel MN$, $\angle KLM = 60^\circ$, $\angle MNK = 90^\circ$. Обозначим $MN = x$, $KL = y$, $LM = a$, $NK = c$.
Шаг 2
Условие вписанной окружности: $x + y = a + c$.
Шаг 3
Опустим перпендикуляры $LL' \perp MN$ и $KK' \perp MN$. Поскольку $\angle MNK = 90^\circ$, то $NK \perp MN$, поэтому $KK' = NK = c$. Высота трапеции $LL' = LM \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} a$, и $LL' = KK'$, значит $c = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.
Проекция $LM$ на $MN$ равна $a \cos 60^\circ = \frac{a}{2}$, поэтому разность оснований: $x - y = \frac{a}{2}$.
Проекция $LM$ на $MN$ равна $a \cos 60^\circ = \frac{a}{2}$, поэтому разность оснований: $x - y = \frac{a}{2}$.
Шаг 4
Из системы:
$$
Система уравнений: $x + y = a + c,$, $x - y = \frac{a}{2},$, $c = \frac{\sqrt{3}}{2} a,$
$$
получаем:
$$
x = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{4}, \quad y = \frac{a(1 + \sqrt{3})}{4}.
$$
$$
Система уравнений: $x + y = a + c,$, $x - y = \frac{a}{2},$, $c = \frac{\sqrt{3}}{2} a,$
$$
получаем:
$$
x = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{4}, \quad y = \frac{a(1 + \sqrt{3})}{4}.
$$
Шаг 5
В $\triangle LMN$ сторона $MN = x$, $LM = a$, $\angle LMN = 60^\circ$. По теореме косинусов:
$$
LN^2 = a^2 + x^2 - 2 a x \cos 60^\circ = a^2 + x^2 - a x.
$$
Подставляем $x$:
$$
LN^2 = a^2 \left( 1 + \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{16} - \frac{3 + \sqrt{3}}{4} \right) = a^2 \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{8} \right).
$$
Обозначим $LN = b = a \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{8}}$.
$$
LN^2 = a^2 + x^2 - 2 a x \cos 60^\circ = a^2 + x^2 - a x.
$$
Подставляем $x$:
$$
LN^2 = a^2 \left( 1 + \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{16} - \frac{3 + \sqrt{3}}{4} \right) = a^2 \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{8} \right).
$$
Обозначим $LN = b = a \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{8}}$.
Шаг 6
В $\triangle LMN$ отрезок $LA$ — биссектриса $\angle MLN$ (так как $A$ лежит на $LO$, а $LO$ — биссектриса $\angle KLM$, но в $\triangle LMN$ это биссектриса $\angle MLN$). По теореме о биссектрисе:
$$
\frac{LM}{LN} = \frac{MA}{AN} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{MA}{AN}.
$$
Пусть $MA = m$, $AN = n$, тогда $m + n = x$ и $m = \frac{a}{b} n$.
$$
\frac{LM}{LN} = \frac{MA}{AN} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{MA}{AN}.
$$
Пусть $MA = m$, $AN = n$, тогда $m + n = x$ и $m = \frac{a}{b} n$.
Шаг 7
Формула длины биссектрисы:
$$
LA^2 = LM \cdot LN - MA \cdot AN.
$$
Подставляем $LA = 3$:
$$
9 = a b - m n.
$$
Выражаем $m n$:
$$
m n = \frac{a b x^2}{(a + b)^2}.
$$
Тогда:
$$
9 = a b \left( 1 - \frac{x^2}{(a + b)^2} \right).
$$
$$
LA^2 = LM \cdot LN - MA \cdot AN.
$$
Подставляем $LA = 3$:
$$
9 = a b - m n.
$$
Выражаем $m n$:
$$
m n = \frac{a b x^2}{(a + b)^2}.
$$
Тогда:
$$
9 = a b \left( 1 - \frac{x^2}{(a + b)^2} \right).
$$
Шаг 8
Подставляем выражения для $x$, $b$ через $a$:
$$
x = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{4}, \quad b = a \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{8}}.
$$
Вычисляем численно:
$$
3 + \sqrt{3} \approx 4.73205, \quad \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{8}} \approx 1.1029.
$$
Подбором $a$ из уравнения $9 = a b - m n$ находим $a \approx 3.455$. Тогда:
$$
x = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{4} \approx \frac{3.455 \cdot 4.73205}{4} \approx 4.0858.
$$
$$
x = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{4}, \quad b = a \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{8}}.
$$
Вычисляем численно:
$$
3 + \sqrt{3} \approx 4.73205, \quad \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{8}} \approx 1.1029.
$$
Подбором $a$ из уравнения $9 = a b - m n$ находим $a \approx 3.455$. Тогда:
$$
x = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{4} \approx \frac{3.455 \cdot 4.73205}{4} \approx 4.0858.
$$
Окончательный ответ:
$MN \approx 4.09$.