Задание 2A66EA

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке D. Пусть DA лежит на оси Ox, DB — на оси Oy, DC — на оси Oz. Так как рёбра DA, DB, DC попарно перпендикулярны и равны (из условия AB = 6√2, а DA = DB = DC = 6, что будет показано), положим: D(0,0,0), A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,6).

Проверим длину AB: AB = √((0-6)² + (6-0)² + (0-0)²) = √(36+36) = 6√2. Аналогично BC = AC = 6√2. Все рёбра основания равны, основание ABC — равносторонний треугольник. Боковые рёбра DA, DB, DC равны 6 и попарно перпендикулярны, следовательно, пирамида правильная.

Найдём координаты точек M и N. Так как DM:MA = 1:2 и DN:NC = 1:2, используем формулу деления отрезка в данном отношении. Получаем: M(2,0,0), N(0,0,2).

Найдём векторы, лежащие в плоскости MNB: MN = (-2,0,2), MB = (-2,6,0). Вектор нормали n к плоскости найдём как векторное произведение: n = MN × MB = (0*0 - 2*6, 2*(-2) - (-2)*0, (-2)*6 - 0*(-2)) = (-12, -4, -12). Упростим, разделив на -4: n = (3,1,3).

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(2,0,0) с нормалью n(3,1,3): 3(x-2) + 1(y-0) + 3(z-0) = 0 ⇒ 3x + y + 3z = 6.

Расстояние от точки D(0,0,0) до этой плоскости: d = |3*0 + 0 + 3*0 - 6| / √(3² + 1² + 3²) = 6 / √19.