Шаг 1
Введём прямоугольную систему координат с вершиной прямого угла $C = (0,0)$. Пусть $A = (a, 0)$ и $B = (0, b)$. Тогда гипотенуза $AB$.
Шаг 2
Середина $M$ гипотенузы $AB$ имеет координаты $M = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$.
Шаг 3
Прямая $CM$ проходит через точки $C(0,0)$ и $M$. Её угловой коэффициент $k_{CM} = \frac{b}{a}$. Прямая, проходящая через $M$ и перпендикулярная $CM$, имеет угловой коэффициент $k = -\frac{a}{b}$. Уравнение этой прямой: $y - \frac{b}{2} = -\frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{2} \right)$.
Шаг 4
Найдём точку $K$ пересечения этой прямой с катетом $AC$ (ось $Ox$, где $y=0$). Подставляем $y=0$:
$-\frac{b}{2} = -\frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{2} \right) \Rightarrow \frac{b}{2} = \frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{2} \right) \Rightarrow x = \frac{a^2 + b^2}{2a}$.
Значит, $K = \left( \frac{a^2 + b^2}{2a}, 0 \right)$.
$-\frac{b}{2} = -\frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{2} \right) \Rightarrow \frac{b}{2} = \frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{2} \right) \Rightarrow x = \frac{a^2 + b^2}{2a}$.
Значит, $K = \left( \frac{a^2 + b^2}{2a}, 0 \right)$.
Шаг 5
По условию $AK : KC = 1 : 2$. Так как $A = (a,0)$, то $AK = a - \frac{a^2 + b^2}{2a} = \frac{a^2 - b^2}{2a}$, а $KC = \frac{a^2 + b^2}{2a}$. Получаем:
$\frac{AK}{KC} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2(a^2 - b^2) = a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 = 3b^2$.
$\frac{AK}{KC} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2(a^2 - b^2) = a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 = 3b^2$.
Шаг 6
В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC = a$, катет $BC = b$. Из соотношения $a^2 = 3b^2$ следует $a = b\sqrt{3}$. Тогда $\tan \angle BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{b\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, значит, $\angle BAC = 30^\circ$. Доказано.
Шаг 7
Дано $BC = \sqrt{21}$, то есть $b = \sqrt{21}$. Тогда $a = \sqrt{3 \cdot 21} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$. Координаты: $A = (3\sqrt{7}, 0)$, $B = (0, \sqrt{21})$, $M = \left( \frac{3\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{21}}{2} \right)$, $K = \left( \frac{63 + 21}{2 \cdot 3\sqrt{7}}, 0 \right) = \left( \frac{84}{6\sqrt{7}}, 0 \right) = (2\sqrt{7}, 0)$.
Шаг 8
Найдём уравнение прямой $MK$. Угловой коэффициент $k_{MK} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{2} - 0}{\frac{3\sqrt{7}}{2} - 2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}/2}{-\sqrt{7}/2} = -\sqrt{3}$. Уравнение: $y - 0 = -\sqrt{3}(x - 2\sqrt{7})$.
Шаг 9
Прямая $BC$ задаётся уравнением $x = 0$. Найдём точку $P$ пересечения $MK$ и $BC$: подставляем $x=0$ в уравнение $MK$: $y = -\sqrt{3}(-2\sqrt{7}) = 2\sqrt{21}$. Значит, $P = (0, 2\sqrt{21})$.
Шаг 10
Найдём уравнения прямых $AP$ и $BK$.
Прямая $AP$ через $A(3\sqrt{7}, 0)$ и $P(0, 2\sqrt{21})$: уравнение $ \frac{x}{3\sqrt{7}} + \frac{y}{2\sqrt{21}} = 1$.
Прямая $BK$ через $B(0, \sqrt{21})$ и $K(2\sqrt{7}, 0)$: уравнение $ \frac{x}{2\sqrt{7}} + \frac{y}{\sqrt{21}} = 1$.
Прямая $AP$ через $A(3\sqrt{7}, 0)$ и $P(0, 2\sqrt{21})$: уравнение $ \frac{x}{3\sqrt{7}} + \frac{y}{2\sqrt{21}} = 1$.
Прямая $BK$ через $B(0, \sqrt{21})$ и $K(2\sqrt{7}, 0)$: уравнение $ \frac{x}{2\sqrt{7}} + \frac{y}{\sqrt{21}} = 1$.
Шаг 11
Решим систему уравнений этих прямых, чтобы найти точку $Q$.
Из уравнения $BK$: $y = \sqrt{21} \left(1 - \frac{x}{2\sqrt{7}}\right)$. Подставим в уравнение $AP$:
$\frac{x}{3\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{21} \left(1 - \frac{x}{2\sqrt{7}}\right)}{2\sqrt{21}} = 1 \Rightarrow \frac{x}{3\sqrt{7}} + \frac{1}{2} - \frac{x}{4\sqrt{7}} = 1 \Rightarrow \left( \frac{1}{3\sqrt{7}} - \frac{1}{4\sqrt{7}} \right)x = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{12\sqrt{7}} x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 6\sqrt{7}$.
Тогда $y = \sqrt{21} \left(1 - \frac{6\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}\right) = \sqrt{21}(1 - 3) = -2\sqrt{21}$. Итак, $Q = (6\sqrt{7}, -2\sqrt{21})$.
Из уравнения $BK$: $y = \sqrt{21} \left(1 - \frac{x}{2\sqrt{7}}\right)$. Подставим в уравнение $AP$:
$\frac{x}{3\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{21} \left(1 - \frac{x}{2\sqrt{7}}\right)}{2\sqrt{21}} = 1 \Rightarrow \frac{x}{3\sqrt{7}} + \frac{1}{2} - \frac{x}{4\sqrt{7}} = 1 \Rightarrow \left( \frac{1}{3\sqrt{7}} - \frac{1}{4\sqrt{7}} \right)x = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{12\sqrt{7}} x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 6\sqrt{7}$.
Тогда $y = \sqrt{21} \left(1 - \frac{6\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}\right) = \sqrt{21}(1 - 3) = -2\sqrt{21}$. Итак, $Q = (6\sqrt{7}, -2\sqrt{21})$.
Шаг 12
Найдём расстояние $KQ$. $K = (2\sqrt{7}, 0)$, $Q = (6\sqrt{7}, -2\sqrt{21})$. Вектор $\overrightarrow{KQ} = (4\sqrt{7}, -2\sqrt{21})$. Длина:
$KQ = \sqrt{(4\sqrt{7})^2 + (-2\sqrt{21})^2} = \sqrt{16 \cdot 7 + 4 \cdot 21} = \sqrt{112 + 84} = \sqrt{196} = 14$.
$KQ = \sqrt{(4\sqrt{7})^2 + (-2\sqrt{21})^2} = \sqrt{16 \cdot 7 + 4 \cdot 21} = \sqrt{112 + 84} = \sqrt{196} = 14$.
Окончательный ответ:
14