Шаг 1
Приведём все степени к основанию 3.
$3 \cdot 27^x = 3 \cdot (3^3)^x = 3^{3x+1}$,
$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2x+2}$,
$3^{x+2} = 3^{x+2}$,
$3^{50x^2 - 30x + 4,5} = 3^{50x^2 - 30x + \frac{9}{2}}$.
Исходное неравенство: $3^{3x+1} - 3^{2x+2} + 3^{x+2} - 3^{50x^2 - 30x + \frac{9}{2}} \ge 0$.
$3 \cdot 27^x = 3 \cdot (3^3)^x = 3^{3x+1}$,
$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2x+2}$,
$3^{x+2} = 3^{x+2}$,
$3^{50x^2 - 30x + 4,5} = 3^{50x^2 - 30x + \frac{9}{2}}$.
Исходное неравенство: $3^{3x+1} - 3^{2x+2} + 3^{x+2} - 3^{50x^2 - 30x + \frac{9}{2}} \ge 0$.
Шаг 2
Сгруппируем и вынесем общие множители.
$(3^{3x+1} - 3^{2x+2}) + (3^{x+2} - 3^{50x^2 - 30x + \frac{9}{2}}) \ge 0$.
Первая скобка: $3^{2x+1}(3^x - 3)$.
Вторая скобка: $3^{x+2}\left(1 - 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}\right)$, так как показатель упрощается: $50x^2 - 30x + \frac{9}{2} - (x+2) = 50x^2 - 31x + \frac{5}{2}$.
Получаем: $3^{2x+1}(3^x - 3) + 3^{x+2}\left(1 - 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}\right) \ge 0$.
$(3^{3x+1} - 3^{2x+2}) + (3^{x+2} - 3^{50x^2 - 30x + \frac{9}{2}}) \ge 0$.
Первая скобка: $3^{2x+1}(3^x - 3)$.
Вторая скобка: $3^{x+2}\left(1 - 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}\right)$, так как показатель упрощается: $50x^2 - 30x + \frac{9}{2} - (x+2) = 50x^2 - 31x + \frac{5}{2}$.
Получаем: $3^{2x+1}(3^x - 3) + 3^{x+2}\left(1 - 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}\right) \ge 0$.
Шаг 3
Вынесем общий множитель $3^{x+2}$.
Заметим, что $3^{2x+1} = 3^{x+2} \cdot 3^{x-1}$. Тогда:
$3^{x+2}\left[3^{x-1}(3^x - 3) + 1 - 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}\right] \ge 0$.
Поскольку $3^{x+2} > 0$ для всех $x$, делим на этот множитель:
$3^{x-1}(3^x - 3) + 1 - 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}} \ge 0$.
Заметим, что $3^{2x+1} = 3^{x+2} \cdot 3^{x-1}$. Тогда:
$3^{x+2}\left[3^{x-1}(3^x - 3) + 1 - 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}\right] \ge 0$.
Поскольку $3^{x+2} > 0$ для всех $x$, делим на этот множитель:
$3^{x-1}(3^x - 3) + 1 - 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}} \ge 0$.
Шаг 4
Упростим выражение $3^{x-1}(3^x - 3)$.
$3^{x-1}(3^x - 3) = 3^{2x-1} - 3^x$.
Тогда неравенство принимает вид:
$3^{2x-1} - 3^x + 1 \ge 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}$.
$3^{x-1}(3^x - 3) = 3^{2x-1} - 3^x$.
Тогда неравенство принимает вид:
$3^{2x-1} - 3^x + 1 \ge 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}$.
Шаг 5
Введём замену $t = 3^x > 0$. Тогда $3^{2x-1} = \frac{t^2}{3}$.
Неравенство: $\frac{t^2}{3} - t + 1 \ge 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}$.
Правая часть есть показательная функция от $x$, которую удобно анализировать в исходном виде.
Неравенство: $\frac{t^2}{3} - t + 1 \ge 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}$.
Правая часть есть показательная функция от $x$, которую удобно анализировать в исходном виде.
Шаг 6
Исследуем поведение функций.
Левая часть $L(x) = 3^{2x-1} - 3^x + 1$ ограничена снизу, но растёт при больших $|x|$.
Правая часть $R(x) = 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}$ — показательная функция с квадратичным показателем. Парабола $p(x) = 50x^2 - 31x + \frac{5}{2}$ имеет минимум в $x = \frac{31}{100} = 0.31$, значение $p(0.31) \approx -2.305$, поэтому минимальное значение $R(x) \approx 3^{-2.305} \approx 0.086$.
Левая часть $L(x) = 3^{2x-1} - 3^x + 1$ ограничена снизу, но растёт при больших $|x|$.
Правая часть $R(x) = 3^{50x^2 - 31x + \frac{5}{2}}$ — показательная функция с квадратичным показателем. Парабола $p(x) = 50x^2 - 31x + \frac{5}{2}$ имеет минимум в $x = \frac{31}{100} = 0.31$, значение $p(0.31) \approx -2.305$, поэтому минимальное значение $R(x) \approx 3^{-2.305} \approx 0.086$.
Шаг 7
Численно находим интервал, где $L(x) \ge R(x)$.
Подстановкой убеждаемся, что при $x=0$ и $x=1$ неравенство не выполняется (правая часть значительно больше). При $x=0.31$ (минимум правой части) $L(0.31) \approx 0.537$, $R(0.31) \approx 0.086$ — неравенство выполняется.
Методом подбора находим два корня уравнения $L(x) = R(x)$:
$x_1 \approx 0.157$, $x_2 \approx 0.465$.
При $x$ между этими корнями $L(x) > R(x)$, вне — $L(x) < R(x)$.
Подстановкой убеждаемся, что при $x=0$ и $x=1$ неравенство не выполняется (правая часть значительно больше). При $x=0.31$ (минимум правой части) $L(0.31) \approx 0.537$, $R(0.31) \approx 0.086$ — неравенство выполняется.
Методом подбора находим два корня уравнения $L(x) = R(x)$:
$x_1 \approx 0.157$, $x_2 \approx 0.465$.
При $x$ между этими корнями $L(x) > R(x)$, вне — $L(x) < R(x)$.
Шаг 8
Окончательный интервал.
Неравенство выполняется при $x \in [x_1, x_2]$, то есть приблизительно $x \in [0.157, 0.465]$.
Неравенство выполняется при $x \in [x_1, x_2]$, то есть приблизительно $x \in [0.157, 0.465]$.
Окончательный ответ:
$x \in [0.157, 0.465]$.