Шаг 1
Введём координаты.
Поместим основание в плоскость $z=0$. Пусть $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$. Центр основания $G=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 0\right)$. Вершина $S=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, h\right)$. Из условия $SA=1$ находим $h=\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Поместим основание в плоскость $z=0$. Пусть $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$. Центр основания $G=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 0\right)$. Вершина $S=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, h\right)$. Из условия $SA=1$ находим $h=\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Шаг 2
Найдём координаты точек $M$, $K$, $L$.
$M$ — середина $AB$: $M=\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.
$K$ — середина $SC$: $K=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{h}{2}\right)$.
Точка $L$ делит $BC$ в отношении $BL:LC=3:1$, поэтому $L=\left(\frac{5}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, 0\right)$.
$M$ — середина $AB$: $M=\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.
$K$ — середина $SC$: $K=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{h}{2}\right)$.
Точка $L$ делит $BC$ в отношении $BL:LC=3:1$, поэтому $L=\left(\frac{5}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, 0\right)$.
Шаг 3
Найдём точку $R$ на продолжении $SB$ за $S$.
Пусть $R=S+\mu(S-B)$. Прямая $RK$ проходит через $L$, что даёт уравнение для $\mu$. Решая, получаем $\mu=\frac{1}{2}$. Тогда $R=\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3h}{2}\right)$.
Пусть $R=S+\mu(S-B)$. Прямая $RK$ проходит через $L$, что даёт уравнение для $\mu$. Решая, получаем $\mu=\frac{1}{2}$. Тогда $R=\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3h}{2}\right)$.
Шаг 4
Найдём точку $N$ пересечения $RM$ с ребром $AS$.
Параметризуем $AS$: $A+t(S-A)$. Из условия принадлежности $N$ прямой $RM$ находим $t=\frac{3}{4}$. Следовательно, $N=\left(\frac{3}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{3h}{4}\right)$.
Параметризуем $AS$: $A+t(S-A)$. Из условия принадлежности $N$ прямой $RM$ находим $t=\frac{3}{4}$. Следовательно, $N=\left(\frac{3}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{3h}{4}\right)$.
Шаг 5
Докажем, что $MK$ и $NL$ пересекаются.
Параметризуем $MK$: $M+r(K-M)=\left(\frac{1}{2}, r\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}, r\cdot\frac{h}{2}\right)$.
Параметризуем $NL$: $N+q(L-N)=\left(\frac{3}{8}+\frac{q}{4}, \frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{q\sqrt{3}}{4}, \frac{3h}{4}-\frac{3hq}{4}\right)$.
Приравнивая координаты, из первой получаем $q=\frac{1}{2}$, из второй $r=\frac{3}{4}$, третья координата при этом совпадает. Значит, отрезки имеют общую точку $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{3h}{8}\right)$.
Параметризуем $MK$: $M+r(K-M)=\left(\frac{1}{2}, r\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}, r\cdot\frac{h}{2}\right)$.
Параметризуем $NL$: $N+q(L-N)=\left(\frac{3}{8}+\frac{q}{4}, \frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{q\sqrt{3}}{4}, \frac{3h}{4}-\frac{3hq}{4}\right)$.
Приравнивая координаты, из первой получаем $q=\frac{1}{2}$, из второй $r=\frac{3}{4}$, третья координата при этом совпадает. Значит, отрезки имеют общую точку $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{3h}{8}\right)$.
Шаг 6
Найдём отношение $AN:NS$.
Точка $N$ делит $AS$ в отношении $t:1-t$, где $t=\frac{3}{4}$. Поэтому $AN:NS=3:1$.
Точка $N$ делит $AS$ в отношении $t:1-t$, где $t=\frac{3}{4}$. Поэтому $AN:NS=3:1$.
Окончательный ответ:
3