Шаг 1
Запишем уравнение: $\log_2(\sin x) + \log_2(\sin x) \cdot (2\cos x + \sqrt{3}) = 0$.
Шаг 2
Вынесем общий множитель $\log_2(\sin x)$: $\log_2(\sin x) \cdot \left(1 + 2\cos x + \sqrt{3}\right) = 0$. Упрощаем: $\log_2(\sin x) \cdot \left(2\cos x + 1 + \sqrt{3}\right) = 0$.
Шаг 3
Уравнение распадается на два случая.
1) $\log_2(\sin x) = 0 \Rightarrow \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos x + 1 + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. Так как $\left| -\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \right| > 1$, решений нет.
1) $\log_2(\sin x) = 0 \Rightarrow \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos x + 1 + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. Так как $\left| -\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \right| > 1$, решений нет.
Шаг 4
Проверим ОДЗ: $\sin x > 0$. Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ имеем $\sin x = 1 > 0$, условие выполняется.
Шаг 5
Найдём корни на отрезке $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$.
При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{2} \in \left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$.
При $n = 1$: $x = \frac{5\pi}{2} > \frac{3\pi}{2}$, не входит.
При $n = -1$: $x = -\frac{3\pi}{2} < 0$, не входит.
Единственный корень на отрезке: $x = \frac{\pi}{2}$.
При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{2} \in \left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$.
При $n = 1$: $x = \frac{5\pi}{2} > \frac{3\pi}{2}$, не входит.
При $n = -1$: $x = -\frac{3\pi}{2} < 0$, не входит.
Единственный корень на отрезке: $x = \frac{\pi}{2}$.
Окончательный ответ: