Шаг 1
Раскроем $\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$.
Результат:
$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin x + \cos x$.
Шаг 2
Подставим в уравнение: $\sqrt{3}\sin x + \cos x - 2\sqrt{3}\cos^2 x = \cos x - 2\sqrt{3}$.
Результат:
После вычитания $\cos x$ получаем $\sqrt{3}\sin x - 2\sqrt{3}\cos^2 x = -2\sqrt{3}$.
Шаг 3
Разделим на $\sqrt{3}$.
Результат:
$\sin x - 2\cos^2 x = -2$.
Шаг 4
Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
Результат:
$\sin x - 2(1 - \sin^2 x) = -2$.
Шаг 5
Упростим: $\sin x - 2 + 2\sin^2 x = -2$.
Результат:
$\sin x + 2\sin^2 x = 0$.
Шаг 6
Вынесем $\sin x$.
Результат:
$\sin x (2\sin x + 1) = 0$.
Шаг 7
Первый случай: $\sin x = 0$.
Результат:
$x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 8
Второй случай: $2\sin x + 1 = 0$, откуда $\sin x = -\frac{1}{2}$.
Результат:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 9
Общее решение уравнения.
Результат:
$x = \pi k$ или $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 10
Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$.
Для $x = \pi k$: $k = -2$ даёт $x = -2\pi$, $k = -1$ даёт $x = -\pi$.
Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $k = -1$ даёт $x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$.
Для $x = \pi k$: $k = -2$ даёт $x = -2\pi$, $k = -1$ даёт $x = -\pi$.
Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $k = -1$ даёт $x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$.
Результат:
Подходящие корни: $x = -\frac{13\pi}{6}$, $x = -2\pi$, $x = -\pi$.
Окончательный ответ:
$x = -\frac{13\pi}{6},\; -2\pi,\; -\pi$