Шаг 1
Первое уравнение $(xy - 2x + 12) \cdot \sqrt{y - 2x + 12} = 0$ равносильно совокупности:
1) $xy - 2x + 12 = 0$ и $y - 2x + 12 \ge 0$;
2) $y - 2x + 12 = 0$ (корень определён при этом условии).
1) $xy - 2x + 12 = 0$ и $y - 2x + 12 \ge 0$;
2) $y - 2x + 12 = 0$ (корень определён при этом условии).
Шаг 2
Подставляем $y = 3x + a$ из второго уравнения системы.
Сначала ветка 2: $y - 2x + 12 = 0 \Rightarrow 3x + a - 2x + 12 = 0 \Rightarrow x = -a - 12$, тогда $y = -2a - 36$.
Получаем решение $S_1 = (-a - 12, -2a - 36)$ всегда.
Сначала ветка 2: $y - 2x + 12 = 0 \Rightarrow 3x + a - 2x + 12 = 0 \Rightarrow x = -a - 12$, тогда $y = -2a - 36$.
Получаем решение $S_1 = (-a - 12, -2a - 36)$ всегда.
Шаг 3
Ветка 1: $xy - 2x + 12 = 0$ и $y - 2x + 12 \ge 0$. Подставляем $y = 3x + a$:
$3x^2 + (a - 2)x + 12 = 0$. Дискриминант $D = (a - 2)^2 - 144$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{2 - a \pm \sqrt{D}}{6}$, $y = 3x + a$.
Неравенство $y - 2x + 12 \ge 0$ равносильно $x \ge -a - 12 = x_0$, где $x_0$ — координата $S_1$.
$3x^2 + (a - 2)x + 12 = 0$. Дискриминант $D = (a - 2)^2 - 144$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{2 - a \pm \sqrt{D}}{6}$, $y = 3x + a$.
Неравенство $y - 2x + 12 \ge 0$ равносильно $x \ge -a - 12 = x_0$, где $x_0$ — координата $S_1$.
Шаг 4
Решение $S_1$ удовлетворяет уравнению ветки 1, если $f(x_0)=0$, где $f(x)=3x^2+(a-2)x+12$.
$f(x_0) = 2a^2 + 62a + 468 = 2(a + 13)(a + 18)$.
Значит, $S_1$ совпадает с одним из корней квадратного уравнения при $a = -13$ или $a = -18$.
$f(x_0) = 2a^2 + 62a + 468 = 2(a + 13)(a + 18)$.
Значит, $S_1$ совпадает с одним из корней квадратного уравнения при $a = -13$ или $a = -18$.
Шаг 5
$D \ge 0 \Rightarrow (a - 2)^2 \ge 144 \Rightarrow |a - 2| \ge 12 \Rightarrow a \le -10$ или $a \ge 14$.
При $D = 0$ ($a = -10$ или $a = 14$) квадратное уравнение имеет один корень.
При $D = 0$ ($a = -10$ или $a = 14$) квадратное уравнение имеет один корень.
Шаг 6
Анализ количества решений.
- При $D < 0$ только $S_1$ — одно решение.
- При $D = 0$:
$a = -10$: корень $x=2$, $y=-4$, неравенство выполняется; $S_1=(-2,-16)$ — разные. Два решения.
$a = 14$: корень $x=-2$, $y=8$, неравенство выполняется; $S_1=(-26,-64)$ — разные. Два решения.
- При $D > 0$ ($a < -10$ или $a > 14$): два корня $x_1 < x_2$.
Исследуем $f(x_0)=2(a+13)(a+18)$:
*При $a < -18$: $f(x_0) > 0$, $x_0$ не между корнями. Проверка показывает $x_0 > x_2$, оба корня $< x_0$, неравенство не выполняется — только $S_1$ (одно решение).
*При $-18 < a < -13$: $f(x_0) < 0$, $x_0$ между корнями: $x_1 < x_0 < x_2$. Тогда неравенство $x \ge x_0$ выполняется только для $x_2$, а $x_1$ — нет. $S_1$ не совпадает с корнями. Получаем два решения: $S_1$ и $x_2$.
*При $a = -13$: $f(x_0)=0$, $x_0 = x_1$, $x_2=4$ удовлетворяет неравенству. Решения: $S_1$ (совпадает с $x_1$) и $x_2$ — два решения.
*При $-13 < a < -10$: $f(x_0) > 0$, $x_0$ не между корнями, $x_0 < x_1$. Оба корня $\ge x_0$, неравенство выполняется для обоих. Три решения.
*При $a > 14$: $f(x_0) > 0$, $x_0$ не между корнями, $x_0 < x_1$. Оба корня $\ge x_0$, три решения.
- При $D < 0$ только $S_1$ — одно решение.
- При $D = 0$:
$a = -10$: корень $x=2$, $y=-4$, неравенство выполняется; $S_1=(-2,-16)$ — разные. Два решения.
$a = 14$: корень $x=-2$, $y=8$, неравенство выполняется; $S_1=(-26,-64)$ — разные. Два решения.
- При $D > 0$ ($a < -10$ или $a > 14$): два корня $x_1 < x_2$.
Исследуем $f(x_0)=2(a+13)(a+18)$:
*При $a < -18$: $f(x_0) > 0$, $x_0$ не между корнями. Проверка показывает $x_0 > x_2$, оба корня $< x_0$, неравенство не выполняется — только $S_1$ (одно решение).
*При $-18 < a < -13$: $f(x_0) < 0$, $x_0$ между корнями: $x_1 < x_0 < x_2$. Тогда неравенство $x \ge x_0$ выполняется только для $x_2$, а $x_1$ — нет. $S_1$ не совпадает с корнями. Получаем два решения: $S_1$ и $x_2$.
*При $a = -13$: $f(x_0)=0$, $x_0 = x_1$, $x_2=4$ удовлетворяет неравенству. Решения: $S_1$ (совпадает с $x_1$) и $x_2$ — два решения.
*При $-13 < a < -10$: $f(x_0) > 0$, $x_0$ не между корнями, $x_0 < x_1$. Оба корня $\ge x_0$, неравенство выполняется для обоих. Три решения.
*При $a > 14$: $f(x_0) > 0$, $x_0$ не между корнями, $x_0 < x_1$. Оба корня $\ge x_0$, три решения.
Шаг 7
Объединяем условия, дающие ровно два решения:
1) $-18 < a \le -13$ (из $D > 0$, один корень удовлетворяет неравенству или совпадение при $a=-13$);
2) $a = -10$ ($D=0$);
3) $a = 14$ ($D=0$).
1) $-18 < a \le -13$ (из $D > 0$, один корень удовлетворяет неравенству или совпадение при $a=-13$);
2) $a = -10$ ($D=0$);
3) $a = 14$ ($D=0$).
Окончательный ответ:
$(-18, -13] \cup \{-10\} \cup \{14\}$.