Шаг 1
Упрощаем уравнение, используя формулу приведения $\sin(x+\pi) = -\sin x$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
$1 - 2\sin^2 x + \sqrt{2} \sin x - 1 = 0$, что упрощается до $-2\sin^2 x + \sqrt{2} \sin x = 0$.
Результат:
Исходное уравнение $\cos 2x - \sqrt{2} \sin(x+\pi) - 1 = 0$ преобразуется к виду:
$1 - 2\sin^2 x + \sqrt{2} \sin x - 1 = 0$, что упрощается до $-2\sin^2 x + \sqrt{2} \sin x = 0$.
Шаг 2
Решаем полученное уравнение.
Результат:
Выносим $\sin x$: $\sin x \left( \sqrt{2} - 2\sin x \right) = 0$. Отсюда $\sin x = 0$ или $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Шаг 3
Находим общие серии корней.
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Результат:
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 4
Отбираем корни, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$.
Для $x = \pi n$: $n = -3 \Rightarrow x = -3\pi$; $n = -2 \Rightarrow x = -2\pi$.
Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $k = -2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4}$ — не входит в отрезок.
Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $k = -2 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} - 4\pi = -\frac{13\pi}{4}$ — входит в отрезок.
Результат:
Для $x = \pi n$: $n = -3 \Rightarrow x = -3\pi$; $n = -2 \Rightarrow x = -2\pi$.
Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $k = -2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4}$ — не входит в отрезок.
Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $k = -2 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} - 4\pi = -\frac{13\pi}{4}$ — входит в отрезок.
Окончательный ответ:
$-\frac{13\pi}{4},\; -3\pi,\; -2\pi$.