Шаг 1
Построим сечение.
Плоскость $\alpha$ содержит точки $A_1$, $B$, $M$. Соединяем их:
- $A_1 B$ — диагональ прямоугольника $ABB_1 A_1$,
- $BM$ — отрезок в грани $BCC_1$,
- $A_1 M$ — отрезок в грани $ACC_1 A_1$.
Эти отрезки лежат на поверхности призмы, поэтому сечение — треугольник $A_1 B M$.
Плоскость $\alpha$ содержит точки $A_1$, $B$, $M$. Соединяем их:
- $A_1 B$ — диагональ прямоугольника $ABB_1 A_1$,
- $BM$ — отрезок в грани $BCC_1$,
- $A_1 M$ — отрезок в грани $ACC_1 A_1$.
Эти отрезки лежат на поверхности призмы, поэтому сечение — треугольник $A_1 B M$.
Шаг 2
Найдём длины сторон.
Пусть высота призмы равна $h$.
$A_1 B = \sqrt{AB^2 + A A_1^2} = \sqrt{4 + h^2}$.
В треугольнике $BCM$: $BC = 2$, $CM = \frac{h}{2}$, поэтому $BM = \sqrt{4 + \left( \frac{h}{2} \right)^2} = \sqrt{4 + \frac{h^2}{4}}$.
В треугольнике $A_1 C_1 M$: $A_1 C_1 = 2$, $C_1 M = \frac{h}{2}$, поэтому $A_1 M = \sqrt{4 + \left( \frac{h}{2} \right)^2} = \sqrt{4 + \frac{h^2}{4}}$.
Получаем $BM = A_1 M$, значит треугольник $A_1 B M$ равнобедренный с основанием $A_1 B$.
б) Найти высоту призмы $h$, если площадь сечения равна 6.
Пусть высота призмы равна $h$.
$A_1 B = \sqrt{AB^2 + A A_1^2} = \sqrt{4 + h^2}$.
В треугольнике $BCM$: $BC = 2$, $CM = \frac{h}{2}$, поэтому $BM = \sqrt{4 + \left( \frac{h}{2} \right)^2} = \sqrt{4 + \frac{h^2}{4}}$.
В треугольнике $A_1 C_1 M$: $A_1 C_1 = 2$, $C_1 M = \frac{h}{2}$, поэтому $A_1 M = \sqrt{4 + \left( \frac{h}{2} \right)^2} = \sqrt{4 + \frac{h^2}{4}}$.
Получаем $BM = A_1 M$, значит треугольник $A_1 B M$ равнобедренный с основанием $A_1 B$.
б) Найти высоту призмы $h$, если площадь сечения равна 6.
Шаг 1
Площадь треугольника $A_1 B M$.
Основание $A_1 B = \sqrt{4 + h^2}$, боковые стороны $BM = A_1 M = \sqrt{4 + \frac{h^2}{4}}$.
Высота к основанию: $H = \sqrt{BM^2 - \left( \frac{A_1 B}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( 4 + \frac{h^2}{4} \right) - \frac{4 + h^2}{4}} = \sqrt{3}$.
Основание $A_1 B = \sqrt{4 + h^2}$, боковые стороны $BM = A_1 M = \sqrt{4 + \frac{h^2}{4}}$.
Высота к основанию: $H = \sqrt{BM^2 - \left( \frac{A_1 B}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( 4 + \frac{h^2}{4} \right) - \frac{4 + h^2}{4}} = \sqrt{3}$.
Шаг 2
Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot A_1 B \cdot H = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 + h^2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 + h^2}$.
По условию $S = 6$:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 + h^2} = 6$
$\sqrt{3} \sqrt{4 + h^2} = 12$
$\sqrt{4 + h^2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$
$4 + h^2 = 48$
$h^2 = 44$
$h = 2\sqrt{11}$ (высота положительна).
По условию $S = 6$:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 + h^2} = 6$
$\sqrt{3} \sqrt{4 + h^2} = 12$
$\sqrt{4 + h^2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$
$4 + h^2 = 48$
$h^2 = 44$
$h = 2\sqrt{11}$ (высота положительна).
Окончательный ответ: