а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на 21?
Шаг 1: Пусть длина последовательности равна $L$. Чтобы было ровно 5 чисел, кратных 20, необходимо $81 \le L \le 119$ (можно подобрать начало так, чтобы кратных 20 было ровно 5).
Шаг 2: Максимальное количество чисел, кратных 21, в отрезке длины $L$ не превышает $\left\lfloor \frac{L}{21} \right\rfloor + 1$. При $L \le 119$ имеем $\left\lfloor \frac{119}{21} \right\rfloor = 5$, поэтому кратных 21 не больше 5.
Шаг 2: Максимальное количество чисел, кратных 21, в отрезке длины $L$ не превышает $\left\lfloor \frac{L}{21} \right\rfloor + 1$. При $L \le 119$ имеем $\left\lfloor \frac{119}{21} \right\rfloor = 5$, поэтому кратных 21 не больше 5.
Результат:
Нет, не могло.
б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на 15?
Шаг 1: Для длины $L$ количество чисел, кратных 15, равно $\left\lfloor \frac{L}{15} \right\rfloor$ или $\left\lfloor \frac{L}{15} \right\rfloor + 1$.
Шаг 2: Из условия $L \ge 81$ (чтобы было 5 кратных 20). Тогда $\left\lfloor \frac{81}{15} \right\rfloor = 5$, поэтому минимальное возможное количество кратных 15 равно 5. Меньше пяти быть не может.
Шаг 2: Из условия $L \ge 81$ (чтобы было 5 кратных 20). Тогда $\left\lfloor \frac{81}{15} \right\rfloor = 5$, поэтому минимальное возможное количество кратных 15 равно 5. Меньше пяти быть не может.
Результат:
Нет, не могло.
в) Найдите наибольшее возможное число \(k\) такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на \(k\).
Шаг 1: Нужно хотя бы 6 чисел, кратных $k$, при этом длина $L \le 119$ (чтобы кратных 20 оставалось ровно 5).
Шаг 2: Для $L = 119$ условие $\left\lfloor \frac{119}{k} \right\rfloor \ge 6$ даёт $k \le 19$ (так как $\left\lfloor \frac{119}{19} \right\rfloor = 6$, а $\left\lfloor \frac{119}{20} \right\rfloor = 5$).
Шаг 3: Проверим $k = 19$. Возьмём последовательность чисел от 1 до 119. Кратные 19: 19, 38, 57, 76, 95, 114 — 6 чисел. Кратные 20: 20, 40, 60, 80, 100 — 5 чисел. Условие выполнено.
Шаг 4: Для $k = 20$ кратных 20 ровно 5 по условию, поэтому не подходит. Для $k = 21$ максимальное количество кратных 21 при $L = 119$ равно 5, что не больше пяти.
Шаг 2: Для $L = 119$ условие $\left\lfloor \frac{119}{k} \right\rfloor \ge 6$ даёт $k \le 19$ (так как $\left\lfloor \frac{119}{19} \right\rfloor = 6$, а $\left\lfloor \frac{119}{20} \right\rfloor = 5$).
Шаг 3: Проверим $k = 19$. Возьмём последовательность чисел от 1 до 119. Кратные 19: 19, 38, 57, 76, 95, 114 — 6 чисел. Кратные 20: 20, 40, 60, 80, 100 — 5 чисел. Условие выполнено.
Шаг 4: Для $k = 20$ кратных 20 ровно 5 по условию, поэтому не подходит. Для $k = 21$ максимальное количество кратных 21 при $L = 119$ равно 5, что не больше пяти.
Результат:
Наибольшее возможное $k$ равно 19.
Окончательный ответ: