Шаг 1
Упростим уравнение, используя тригонометрические тождества.
Дано: $1 - \cos 2x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} - 2 \sin(x + \pi)$.
Используем: $\cos 2x = 1 - 2\sin^{2} x$, тогда $1 - \cos 2x = 2\sin^{2} x$.
Также $\sin(x + \pi) = -\sin x$. Подставляем:
$2\sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} - 2(-\sin x) = \sqrt{2} + 2\sin x$.
Дано: $1 - \cos 2x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} - 2 \sin(x + \pi)$.
Используем: $\cos 2x = 1 - 2\sin^{2} x$, тогда $1 - \cos 2x = 2\sin^{2} x$.
Также $\sin(x + \pi) = -\sin x$. Подставляем:
$2\sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} - 2(-\sin x) = \sqrt{2} + 2\sin x$.
Шаг 2
Переносим всё в одну сторону:
$2\sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} - 2\sin x = 0$
$\Rightarrow 2\sin^{2} x + \left(\sqrt{2} - 2\right)\sin x - \sqrt{2} = 0$.
Пусть $t = \sin x$, получаем квадратное уравнение: $2t^{2} + \left(\sqrt{2} - 2\right)t - \sqrt{2} = 0$.
$2\sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} - 2\sin x = 0$
$\Rightarrow 2\sin^{2} x + \left(\sqrt{2} - 2\right)\sin x - \sqrt{2} = 0$.
Пусть $t = \sin x$, получаем квадратное уравнение: $2t^{2} + \left(\sqrt{2} - 2\right)t - \sqrt{2} = 0$.
Шаг 3
Решаем квадратное уравнение.
Дискриминант: $D = \left(\sqrt{2} - 2\right)^{2} + 8\sqrt{2} = 6 + 4\sqrt{2} = \left(\sqrt{2} + 2\right)^{2}$.
Корни: $t = \frac{-\left(\sqrt{2} - 2\right) \pm \left(\sqrt{2} + 2\right)}{4}$.
$t_{1} = \frac{-\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + 2}{4} = 1$,
$t_{2} = \frac{-\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} - 2}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Итак, $\sin x = 1$ или $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Дискриминант: $D = \left(\sqrt{2} - 2\right)^{2} + 8\sqrt{2} = 6 + 4\sqrt{2} = \left(\sqrt{2} + 2\right)^{2}$.
Корни: $t = \frac{-\left(\sqrt{2} - 2\right) \pm \left(\sqrt{2} + 2\right)}{4}$.
$t_{1} = \frac{-\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + 2}{4} = 1$,
$t_{2} = \frac{-\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} - 2}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Итак, $\sin x = 1$ или $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Шаг 4
Решаем $\sin x = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Решаем $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$ или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$ или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.
Шаг 6
Отбор корней на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.
1) Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$: $-3\pi \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Получаем $n = -1$, тогда $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.
2) Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$: $-3\pi \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi m \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Получаем $m = -1$, тогда $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$.
3) Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$: $-3\pi \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi m \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Получаем $m = -2$, тогда $x = \frac{5\pi}{4} - 4\pi = -\frac{11\pi}{4}$.
Окончательный ответ для пункта а): $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.
Окончательный ответ для пункта б): $\left\{ -\frac{11\pi}{4}, -\frac{9\pi}{4}, -\frac{3\pi}{2} \right\}$.
1) Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$: $-3\pi \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Получаем $n = -1$, тогда $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.
2) Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$: $-3\pi \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi m \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Получаем $m = -1$, тогда $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$.
3) Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$: $-3\pi \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi m \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Получаем $m = -2$, тогда $x = \frac{5\pi}{4} - 4\pi = -\frac{11\pi}{4}$.
Окончательный ответ для пункта а): $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.
Окончательный ответ для пункта б): $\left\{ -\frac{11\pi}{4}, -\frac{9\pi}{4}, -\frac{3\pi}{2} \right\}$.