Шаг 1
Введём координаты. Пусть $A=(0,0)$, $B=(b,0)$, $D=(b\cos\alpha, b\sin\alpha)$, где $\alpha = \angle BAD$. Тогда $C = B + D = (b(1+\cos\alpha), b\sin\alpha)$.
Шаг 2
Найдём координаты точек $M$ и $N$. Так как $AM:MC = 1:2$, то $M = A + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \left( \frac{b(1+\cos\alpha)}{3}, \frac{b\sin\alpha}{3} \right)$. Так как $BN:ND = 1:3$, то $N = B + \frac{1}{4}\overrightarrow{BD} = \left( b + \frac{b(\cos\alpha - 1)}{4}, \frac{b\sin\alpha}{4} \right)$.
Шаг 3
Вектор $\overrightarrow{BC} = (b\cos\alpha, b\sin\alpha)$. Вектор, перпендикулярный $BC$, имеет вид $(-\sin\alpha, \cos\alpha)$. По условию, прямая $MN$ перпендикулярна $BC$, поэтому $\overrightarrow{MN}$ коллинеарен вектору $(-\sin\alpha, \cos\alpha)$.
Шаг 4
Вычислим $\overrightarrow{MN} = N - M = \left( \frac{b(5 - \cos\alpha)}{12}, -\frac{b\sin\alpha}{12} \right)$. Из условия коллинеарности получаем пропорцию: $\frac{\frac{b(5 - \cos\alpha)}{12}}{-\sin\alpha} = \frac{-\frac{b\sin\alpha}{12}}{\cos\alpha}$.
Шаг 5
Упростим пропорцию. Из равенства отношений $y$-координаты следует $k = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Подставим в отношение для $x$-координаты: $\frac{5 - \cos\alpha}{-\sin\alpha} = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Отсюда $5 - \cos\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$.
Шаг 6
Умножим на $\cos\alpha$: $5\cos\alpha - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Заменим $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$: $5\cos\alpha - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \Rightarrow 5\cos\alpha = 1 \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{5}$. Часть (а) доказана.
Шаг 7
Найдём длину $MN$. $MN = \frac{b}{12} \sqrt{(5 - \cos\alpha)^2 + \sin^2\alpha}$. Подставим $\cos\alpha = \frac{1}{5}$, $\sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$, $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ (угол острый). Тогда $5 - \cos\alpha = \frac{24}{5}$. Получаем $MN = \frac{b}{12} \sqrt{ \left( \frac{24}{5} \right)^2 + \left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)^2 } = \frac{b}{12} \cdot \frac{\sqrt{576 + 24}}{5} = \frac{b}{12} \cdot \frac{\sqrt{600}}{5} = \frac{b}{12} \cdot \frac{10\sqrt{6}}{5} = \frac{b\sqrt{6}}{6}$.
Шаг 8
По условию $MN = 5$, поэтому $\frac{b\sqrt{6}}{6} = 5 \Rightarrow b = \frac{30}{\sqrt{6}} = 5\sqrt{6}$.
Шаг 9
Площадь ромба $S = b^2 \sin\alpha = (5\sqrt{6})^2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 150 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 60\sqrt{6}$.
Окончательный ответ:
$60\sqrt{6}$