Задание 4972C0

Суммарное количество камней инвариантно и равно $97 + 104 + 0 = 201$.

Обозначим через $m_1$, $m_2$, $m_3$ количество ходов, где камень добавлялся в первую, вторую и третью коробки соответственно. Тогда конечные количества:
$x = 97 + 2m_1 - (m_2 + m_3)$,
$y = 104 + 2m_2 - (m_1 + m_3)$,
$z = 2m_3 - (m_1 + m_2)$.

Подставим $x=97$, $y=89$, $z=15$. Получаем систему:
$97 = 97 + 2m_1 - (m_2 + m_3)$,
$89 = 104 + 2m_2 - (m_1 + m_3)$,
$15 = 2m_3 - (m_1 + m_2)$.
Из первого уравнения: $2m_1 = m_2 + m_3$. Из второго: $2m_2 = m_1 + m_3 - 15$. Из третьего: $2m_3 = m_1 + m_2 + 15$.
Решая, находим семейство решений: $m_1 = t+5$, $m_2 = t$, $m_3 = 2t+5$ для любого целого $t \geq 0$. Значит, такая конфигурация возможна. Ответ: Да.

Если $z = 201$, то из инварианта $x = y = 0$. Подставляем в формулы:
$0 = 97 + 2m_1 - (m_2 + m_3)$,
$0 = 104 + 2m_2 - (m_1 + m_3)$.
Вычитая уравнения, получаем $3(m_1 - m_2) = 7$, что невозможно для целых $m_1, m_2$. Ответ: Нет.

Дано $x = 1$. Из формулы для $x$: $1 = 97 + 2m_1 - (m_2 + m_3) \Rightarrow 2m_1 = m_2 + m_3 - 96$.
Выразим $z$ через $m_1$ и $m_3$: $z = 2m_3 - (m_1 + m_2)$. Подставляя $m_2 = 2m_1 - m_3 + 96$, получаем $z = 3(m_3 - m_1) - 96$.
Теперь выразим $y$: $y = 104 + 2m_2 - (m_1 + m_3) = 104 + 2(2m_1 - m_3 + 96) - m_1 - m_3 = 296 + 3(m_1 - m_3)$.
Условие $y \geq 0$ даёт $3(m_1 - m_3) \geq -296 \Rightarrow m_3 - m_1 \leq 98.\overline{6}$. Так как $m_3 - m_1$ целое, максимум равен $98$.
Тогда максимальное $z = 3 \cdot 98 - 96 = 198$. Пример: $m_3 - m_1 = 98$, $m_1 = 2$, $m_3 = 100$, тогда $m_2 = 2 \cdot 2 - 100 + 96 = 0$. Проверка: $x=1$, $y=2$, $z=198$.