Шаг 1
Преобразование: $f\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{a+b}{2a+b}$. При $\gcd(a,b)=1$ дробь остаётся несократимой, так как $\gcd(a+b, 2a+b) = \gcd(a+b, a) = \gcd(a,b)=1$.
Шаг 2
Сравним $\frac{a}{b}$ и $f\left(\frac{a}{b}\right)$:
$$
\frac{a+b}{2a+b} - \frac{a}{b} = \frac{b^{2}-2a^{2}}{b(2a+b)}.
$$
Если $\frac{a}{b} < \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071$, то дробь увеличивается, если больше — уменьшается.
$$
\frac{a+b}{2a+b} - \frac{a}{b} = \frac{b^{2}-2a^{2}}{b(2a+b)}.
$$
Если $\frac{a}{b} < \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071$, то дробь увеличивается, если больше — уменьшается.
Шаг 3
Применим к $\frac{1}{3}$:
$$
f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{5} = 0.8, \quad f\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{9}{13} \approx 0.6923, \quad f\left(\frac{9}{13}\right) = \frac{22}{31} \approx 0.7097.
$$
За три хода получили $\frac{22}{31}$.
Ответ для пункта а): Да, можно.
б) Можно ли за два хода из некоторой дроби получить $\frac{7}{12}$?
$$
f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{5} = 0.8, \quad f\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{9}{13} \approx 0.6923, \quad f\left(\frac{9}{13}\right) = \frac{22}{31} \approx 0.7097.
$$
За три хода получили $\frac{22}{31}$.
Ответ для пункта а): Да, можно.
б) Можно ли за два хода из некоторой дроби получить $\frac{7}{12}$?
Шаг 1
Пусть после первого хода дробь $\frac{x}{y}$. Тогда после второго:
$$
\frac{x+y}{2x+y} = \frac{7}{12}.
$$
$$
\frac{x+y}{2x+y} = \frac{7}{12}.
$$
Шаг 2
Решаем: $12(x+y) = 7(2x+y) \Rightarrow 5y = 2x \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{2}$.
Шаг 3
Дробь $\frac{5}{2}$ неправильная, но преобразование из правильной дроби даёт правильную (так как $a
Ответ для пункта б): Нет, нельзя.
в) Найти наименьшую дробь $\frac{c}{d} > 0.7$, которую нельзя получить за два хода.
Ответ для пункта б): Нет, нельзя.
в) Найти наименьшую дробь $\frac{c}{d} > 0.7$, которую нельзя получить за два хода.
Шаг 1
Выразим результат двух ходов через начальную дробь $t = \frac{a}{b}$:
$$
F(t) = \frac{3+2t}{4+3t}, \quad t \in (0,1), \quad \gcd(a,b)=1.
$$
$$
F(t) = \frac{3+2t}{4+3t}, \quad t \in (0,1), \quad \gcd(a,b)=1.
$$
Шаг 2
Функция $F(t)$ убывает, так как
$$
F'(t) = \frac{-1}{(4+3t)^{2}} < 0.
$$
$$
F'(t) = \frac{-1}{(4+3t)^{2}} < 0.
$$
Шаг 3
Крайние значения:
$$
\lim_{t \to 0^{+}} F(t) = \frac{3}{4} = 0.75, \quad \lim_{t \to 1^{-}} F(t) = \frac{5}{7} \approx 0.7142857.
$$
Поскольку $t=0$ и $t=1$ недостижимы (дробь $\frac{a}{b}$ правильная, $a \ge 1$, $a
$$
\lim_{t \to 0^{+}} F(t) = \frac{3}{4} = 0.75, \quad \lim_{t \to 1^{-}} F(t) = \frac{5}{7} \approx 0.7142857.
$$
Поскольку $t=0$ и $t=1$ недостижимы (дробь $\frac{a}{b}$ правильная, $a \ge 1$, $a
Шаг 4
Дроби $\frac{c}{d} > 0.7$, не лежащие в $\left(\frac{5}{7}, \frac{3}{4}\right)$, недостижимы. Наименьшая такая дробь — это $\frac{5}{7}$, так как:
- $\frac{5}{7} > 0.7$,
- $\frac{5}{7}$ не входит в интервал достижимых значений (соответствует $t=1$, что недопустимо),
- любая дробь меньше $\frac{5}{7}$ и больше $0.7$ также недостижима, но $\frac{5}{7}$ является наименьшей из них по величине (поскольку дроби, меньшие $\frac{5}{7}$, имеют меньшие значения).
Ответ для пункта в): $\frac{5}{7}$.
Итоговые ответы:
а) Да
б) Нет
в) $\frac{5}{7}$
- $\frac{5}{7} > 0.7$,
- $\frac{5}{7}$ не входит в интервал достижимых значений (соответствует $t=1$, что недопустимо),
- любая дробь меньше $\frac{5}{7}$ и больше $0.7$ также недостижима, но $\frac{5}{7}$ является наименьшей из них по величине (поскольку дроби, меньшие $\frac{5}{7}$, имеют меньшие значения).
Ответ для пункта в): $\frac{5}{7}$.
Итоговые ответы:
а) Да
б) Нет
в) $\frac{5}{7}$