Шаг 1
Уравнение $\sqrt{7x-4} \cdot \ln(x^{2} - 8x + 17 - a^{2}) = 0$. Произведение равно нулю, когда $\sqrt{7x-4} = 0$ или $\ln(x^{2} - 8x + 17 - a^{2}) = 0$.
Результат:
два случая: 1) $\sqrt{7x-4} = 0$, 2) $\ln(x^{2} - 8x + 17 - a^{2}) = 0$.
Шаг 2
Первый случай: $\sqrt{7x-4} = 0 \Rightarrow 7x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{7}$. Этот корень лежит в $[0;4]$ и существует при $7x-4 \ge 0$, что выполнено.
Результат:
$x_{1} = \frac{4}{7}$ — корень при условии, что аргумент логарифма в этой точке положителен.
Шаг 3
Второй случай: $\ln(x^{2} - 8x + 17 - a^{2}) = 0 \Rightarrow x^{2} - 8x + 17 - a^{2} = 1 \Rightarrow (x-4)^{2} = a^{2}$.
Результат:
$x = 4 + a$ или $x = 4 - a$.
Шаг 4
ОДЗ логарифма: $x^{2} - 8x + 17 - a^{2} > 0$. При $x = \frac{4}{7}$: $\left(\frac{4}{7} - 4\right)^{2} + 1 - a^{2} = \frac{625}{49} - a^{2} > 0 \Rightarrow |a| < \frac{25}{7}$. Для $x = 4 \pm a$ условие выполняется всегда.
Результат:
корень $x_{1} = \frac{4}{7}$ существует при $|a| < \frac{25}{7}$.
Шаг 5
Уравнение должно иметь ровно один корень на $[0;4]$. Уже есть $x_{1} = \frac{4}{7}$. Чтобы корень был единственным, корни $4 + a$ и $4 - a$ либо не лежат в $[0;4]$, либо совпадают с $x_{1}$.
Шаг 6
Корень $4 + a \in [0;4] \Rightarrow -4 \le a \le 0$. Если при этом $4 + a \ne \frac{4}{7}$ (т.е. $a \ne -\frac{24}{7}$), то два корня — не подходит. При $a = -\frac{24}{7}$ корни совпадают — один корень.
Шаг 7
Корень $4 - a \in [0;4] \Rightarrow 0 \le a \le 4$. Если $4 - a \ne \frac{4}{7}$ (т.е. $a \ne \frac{24}{7}$), то два корня — не подходит. При $a = \frac{24}{7}$ корни совпадают — один корень.
Шаг 8
Случай, когда $4 + a$ и $4 - a$ не лежат в $[0;4]$: $4 + a \notin [0;4] \Rightarrow a < -4$ или $a > 0$; $4 - a \notin [0;4] \Rightarrow a < 0$ или $a > 4$. Пересечение: $a < -4$ или $a > 4$. Учитывая условие $|a| < \frac{25}{7}$ для существования $x_{1}$, получаем $-\frac{25}{7} < a < -4$ или $4 < a < \frac{25}{7}$.
Шаг 9
Проверим границы $a = \pm \frac{25}{7}$. При этих $a$ корень $x_{1}$ не существует (нарушено ОДЗ). Тогда остаются корни $4 \pm a$: при $a = \frac{25}{7}$ корень $4 - a = \frac{3}{7} \in [0;4]$ — один корень; при $a = -\frac{25}{7}$ корень $4 + a = \frac{3}{7} \in [0;4]$ — один корень.
Шаг 10
Объединяем все подходящие $a$:
1) $-\frac{25}{7} < a < -4$,
2) $a = -\frac{25}{7}$,
3) $a = -\frac{24}{7}$,
4) $a = \frac{24}{7}$,
5) $4 < a < \frac{25}{7}$,
6) $a = \frac{25}{7}$.
1) $-\frac{25}{7} < a < -4$,
2) $a = -\frac{25}{7}$,
3) $a = -\frac{24}{7}$,
4) $a = \frac{24}{7}$,
5) $4 < a < \frac{25}{7}$,
6) $a = \frac{25}{7}$.
Окончательный ответ:
$\left(-\frac{25}{7}, -4\right) \cup \left\{-\frac{25}{7}, -\frac{24}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}\right\} \cup \left(4, \frac{25}{7}\right)$.