Шаг 1
Найдём ОДЗ и упростим неравенство $\frac{\log_3(9x) \cdot \log_4(64x)}{5x^2 - |x|} \leq 0$.
Условия: $9x > 0$ и $64x > 0$ дают $x > 0$. При $x>0$ имеем $|x|=x$, поэтому знаменатель $5x^2 - x = x(5x-1) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq \frac{1}{5}$.
Условия: $9x > 0$ и $64x > 0$ дают $x > 0$. При $x>0$ имеем $|x|=x$, поэтому знаменатель $5x^2 - x = x(5x-1) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq \frac{1}{5}$.
Результат:
ОДЗ: $x > 0$, $x \neq \frac{1}{5}$.
Шаг 2
Упростим логарифмы: $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$, $\log_4(64x) = 3 + \log_4 x$. Знаменатель: $x(5x-1)$.
Результат:
Неравенство приводится к виду $\frac{(2 + \log_3 x)(3 + \log_4 x)}{x(5x-1)} \leq 0$.
Шаг 3
Найдём нули числителя.
$2 + \log_3 x = 0 \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
$3 + \log_4 x = 0 \Rightarrow x = 4^{-3} = \frac{1}{64}$.
$2 + \log_3 x = 0 \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
$3 + \log_4 x = 0 \Rightarrow x = 4^{-3} = \frac{1}{64}$.
Результат:
Критические точки числителя: $x = \frac{1}{64}$, $x = \frac{1}{9}$.
Шаг 4
Критические точки знаменателя: $x=0$ (не в ОДЗ) и $x = \frac{1}{5}$ (выколотая точка).
Результат:
Все критические точки на ОДЗ: $\frac{1}{64}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{5}$.
Шаг 5
Определим знак дроби на интервалах: $\left(0, \frac{1}{64}\right)$, $\left(\frac{1}{64}, \frac{1}{9}\right)$, $\left(\frac{1}{9}, \frac{1}{5}\right)$, $\left(\frac{1}{5}, +\infty\right)$.
На $\left(0, \frac{1}{64}\right)$: $2 + \log_3 x < 0$, $3 + \log_4 x < 0$, $5x-1 < 0$, $x>0$. Числитель $>0$, знаменатель $<0$, дробь $<0$.
На $\left(\frac{1}{64}, \frac{1}{9}\right)$: $2 + \log_3 x < 0$, $3 + \log_4 x > 0$, $5x-1 < 0$. Числитель $<0$, знаменатель $<0$, дробь $>0$.
На $\left(\frac{1}{9}, \frac{1}{5}\right)$: $2 + \log_3 x > 0$, $3 + \log_4 x > 0$, $5x-1 < 0$. Числитель $>0$, знаменатель $<0$, дробь $<0$.
На $\left(\frac{1}{5}, +\infty\right)$: все множители положительны, дробь $>0$.
На $\left(0, \frac{1}{64}\right)$: $2 + \log_3 x < 0$, $3 + \log_4 x < 0$, $5x-1 < 0$, $x>0$. Числитель $>0$, знаменатель $<0$, дробь $<0$.
На $\left(\frac{1}{64}, \frac{1}{9}\right)$: $2 + \log_3 x < 0$, $3 + \log_4 x > 0$, $5x-1 < 0$. Числитель $<0$, знаменатель $<0$, дробь $>0$.
На $\left(\frac{1}{9}, \frac{1}{5}\right)$: $2 + \log_3 x > 0$, $3 + \log_4 x > 0$, $5x-1 < 0$. Числитель $>0$, знаменатель $<0$, дробь $<0$.
На $\left(\frac{1}{5}, +\infty\right)$: все множители положительны, дробь $>0$.
Результат:
Дробь $\leq 0$ на $\left(0, \frac{1}{64}\right]$ и $\left[\frac{1}{9}, \frac{1}{5}\right)$.
Шаг 6
Учтём, что неравенство нестрогое, поэтому нули числителя включаются. Точка $x = \frac{1}{5}$ исключена.
Результат:
Решение: $\left(0, \frac{1}{64}\right] \cup \left[\frac{1}{9}, \frac{1}{5}\right)$.
Окончательный ответ:
$\left(0, \frac{1}{64}\right] \cup \left[\frac{1}{9}, \frac{1}{5}\right)$.