Шаг 1
Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
Шаг 2
Рассмотрим углы.
Угол $AB_1C_1$ — внешний при вершине $B_1$, значит $\angle AB_1C_1 = 180^\circ - \angle CB_1B$.
Из вписанного четырёхугольника: $\angle CB_1B + \angle BCC_1 = 180^\circ$, откуда $\angle CB_1B = 180^\circ - \angle BCC_1$.
Следовательно, $\angle AB_1C_1 = \angle BCC_1 = \angle ACB$.
Аналогично, $\angle AC_1B_1 = \angle ABC$.
Угол $A$ — общий.
б) Вычисление $BC$ и радиуса окружности
Дано: $\angle A = 45^\circ$, $B_1C_1 = 6$, $S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{8} S_{BCB_1C_1}$.
Угол $AB_1C_1$ — внешний при вершине $B_1$, значит $\angle AB_1C_1 = 180^\circ - \angle CB_1B$.
Из вписанного четырёхугольника: $\angle CB_1B + \angle BCC_1 = 180^\circ$, откуда $\angle CB_1B = 180^\circ - \angle BCC_1$.
Следовательно, $\angle AB_1C_1 = \angle BCC_1 = \angle ACB$.
Аналогично, $\angle AC_1B_1 = \angle ABC$.
Угол $A$ — общий.
Результат:
$\triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1$ по двум углам.
б) Вычисление $BC$ и радиуса окружности
Дано: $\angle A = 45^\circ$, $B_1C_1 = 6$, $S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{8} S_{BCB_1C_1}$.
Шаг 1
Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме:
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AB_1C_1} + S_{BCB_1C_1} = S_{\triangle AB_1C_1} + 8 S_{\triangle AB_1C_1} = 9 S_{\triangle AB_1C_1}$.
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AB_1C_1} + S_{BCB_1C_1} = S_{\triangle AB_1C_1} + 8 S_{\triangle AB_1C_1} = 9 S_{\triangle AB_1C_1}$.
Шаг 2
Коэффициент подобия $k$ из отношения площадей:
$k^2 = \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AB_1C_1}} = 9 \Rightarrow k = 3$.
Соответственные стороны: $BC = k \cdot B_1C_1 = 3 \cdot 6 = 18$.
$k^2 = \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AB_1C_1}} = 9 \Rightarrow k = 3$.
Соответственные стороны: $BC = k \cdot B_1C_1 = 3 \cdot 6 = 18$.
Шаг 3
Радиус $R$ окружности, описанной около $\triangle ABC$, найдём по теореме синусов:
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$.
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому
$2R = \frac{18}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 18 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$,
$R = 9\sqrt{2} \approx 12.73$.
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$.
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому
$2R = \frac{18}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 18 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$,
$R = 9\sqrt{2} \approx 12.73$.
Окончательный ответ: