Шаг 1
Свойства касательных.
$NA$ и $NB$ — касательные, поэтому $NA \perp OA$ и $NB \perp OB$. Четырёхугольник $OANB$ имеет сумму углов $360^\circ$:
$90^\circ + \angle ANB + 90^\circ + \angle BOA = 360^\circ \Rightarrow \angle ANB = 180^\circ - \angle BOA$.
$NA$ и $NB$ — касательные, поэтому $NA \perp OA$ и $NB \perp OB$. Четырёхугольник $OANB$ имеет сумму углов $360^\circ$:
$90^\circ + \angle ANB + 90^\circ + \angle BOA = 360^\circ \Rightarrow \angle ANB = 180^\circ - \angle BOA$.
Шаг 2
Центральный и вписанный углы.
Угол $BOA$ — центральный, опирающийся на дугу $AB$. Угол $ACB$ — вписанный, опирающийся на ту же дугу, поэтому $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle BOA$.
Так как $BC$ — диаметр, $\angle BAC = 90^\circ$, значит $\angle ACB = 90^\circ - \angle ABC$.
Угол $BOA$ — центральный, опирающийся на дугу $AB$. Угол $ACB$ — вписанный, опирающийся на ту же дугу, поэтому $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle BOA$.
Так как $BC$ — диаметр, $\angle BAC = 90^\circ$, значит $\angle ACB = 90^\circ - \angle ABC$.
Шаг 3
Связь углов.
Из $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle BOA$ получаем $\angle BOA = 2(90^\circ - \angle ABC) = 180^\circ - 2\angle ABC$.
Подставляем в $\angle ANB = 180^\circ - \angle BOA$:
$\angle ANB = 180^\circ - (180^\circ - 2\angle ABC) = 2\angle ABC$, что и требовалось.
б) Найти расстояние от $N$ до прямой $AB$
Из $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle BOA$ получаем $\angle BOA = 2(90^\circ - \angle ABC) = 180^\circ - 2\angle ABC$.
Подставляем в $\angle ANB = 180^\circ - \angle BOA$:
$\angle ANB = 180^\circ - (180^\circ - 2\angle ABC) = 2\angle ABC$, что и требовалось.
б) Найти расстояние от $N$ до прямой $AB$
Шаг 1
Находим радиус.
В прямоугольном $\triangle ABC$ ($BC$ — диаметр) по теореме Пифагора:
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{36^2 + 14^2} = \sqrt{1492} = 2\sqrt{373}$.
Радиус $R = \frac{BC}{2} = \sqrt{373}$.
В прямоугольном $\triangle ABC$ ($BC$ — диаметр) по теореме Пифагора:
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{36^2 + 14^2} = \sqrt{1492} = 2\sqrt{373}$.
Радиус $R = \frac{BC}{2} = \sqrt{373}$.
Шаг 2
Находим $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, где $\alpha = \angle ABC$.
Из $\triangle ABC$: $\sin \alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{14}{2\sqrt{373}} = \frac{7}{\sqrt{373}}$,
$\cos \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{36}{2\sqrt{373}} = \frac{18}{\sqrt{373}}$.
Из $\triangle ABC$: $\sin \alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{14}{2\sqrt{373}} = \frac{7}{\sqrt{373}}$,
$\cos \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{36}{2\sqrt{373}} = \frac{18}{\sqrt{373}}$.
Шаг 3
Находим длину касательной $AN$.
$ON$ — биссектриса $\angle ANB$, поэтому $\angle ONA = \alpha$.
Из $\triangle OAN$: $\tan \alpha = \frac{OA}{AN} = \frac{R}{AN}$.
Из $\triangle ABC$: $\tan \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$.
Приравниваем: $\frac{\sqrt{373}}{AN} = \frac{7}{18} \Rightarrow AN = \frac{18\sqrt{373}}{7}$.
$ON$ — биссектриса $\angle ANB$, поэтому $\angle ONA = \alpha$.
Из $\triangle OAN$: $\tan \alpha = \frac{OA}{AN} = \frac{R}{AN}$.
Из $\triangle ABC$: $\tan \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$.
Приравниваем: $\frac{\sqrt{373}}{AN} = \frac{7}{18} \Rightarrow AN = \frac{18\sqrt{373}}{7}$.
Шаг 4
Находим расстояние $NK$ от $N$ до $AB$.
Площадь $\triangle ANB$ можно выразить двумя способами:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot NK = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot BN \cdot \sin(2\alpha)$.
Так как $AN = BN$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{7}{\sqrt{373}} \cdot \frac{18}{\sqrt{373}} = \frac{252}{373}$, то
$\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot NK = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{18\sqrt{373}}{7}\right)^2 \cdot \frac{252}{373}$.
Упрощаем правую часть:
$\left(\frac{18\sqrt{373}}{7}\right)^2 = \frac{324 \cdot 373}{49}$,
$\frac{1}{2} \cdot \frac{324 \cdot 373}{49} \cdot \frac{252}{373} = \frac{1}{2} \cdot \frac{324 \cdot 252}{49} = \frac{40824}{98} = \frac{40824}{98}$.
Упрощаем: $324 \cdot 252 = 81648$, тогда $\frac{1}{2} \cdot \frac{81648}{49} = \frac{40824}{49}$.
Итак, $18 \cdot NK = \frac{40824}{49} \Rightarrow NK = \frac{40824}{49 \cdot 18} = \frac{2268}{49} = \frac{324}{7}$.
Площадь $\triangle ANB$ можно выразить двумя способами:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot NK = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot BN \cdot \sin(2\alpha)$.
Так как $AN = BN$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{7}{\sqrt{373}} \cdot \frac{18}{\sqrt{373}} = \frac{252}{373}$, то
$\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot NK = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{18\sqrt{373}}{7}\right)^2 \cdot \frac{252}{373}$.
Упрощаем правую часть:
$\left(\frac{18\sqrt{373}}{7}\right)^2 = \frac{324 \cdot 373}{49}$,
$\frac{1}{2} \cdot \frac{324 \cdot 373}{49} \cdot \frac{252}{373} = \frac{1}{2} \cdot \frac{324 \cdot 252}{49} = \frac{40824}{98} = \frac{40824}{98}$.
Упрощаем: $324 \cdot 252 = 81648$, тогда $\frac{1}{2} \cdot \frac{81648}{49} = \frac{40824}{49}$.
Итак, $18 \cdot NK = \frac{40824}{49} \Rightarrow NK = \frac{40824}{49 \cdot 18} = \frac{2268}{49} = \frac{324}{7}$.
Окончательный ответ:
$\frac{324}{7} \approx 46.29$