Шаг 1
Введём координаты. Поместим основание в плоскость Oxy: A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,4,0), D(0,4,0). Пусть S(x₀, y₀, h). Центр основания - точка O(2,2,0). Так как пирамида правильная, S(2,2,h). Из SA=7: $\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2+h^2}=7 \Rightarrow \sqrt{4+4+h^2}=7 \Rightarrow h=\sqrt{41}$. Итак, S(2,2,$\sqrt{41}$).
Шаг 2
Найдём координаты точек N и K. На CD: DN:NC=1:3, поэтому N = D + $\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$. $\overrightarrow{DC}=(4,0,0)$, значит N(0+1, 4+0, 0+0) = (1,4,0). На SC: SK:KC=1:3, поэтому K = S + $\frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$. $\overrightarrow{SC}=(2,2,-\sqrt{41})$, значит K(2+0.5, 2+0.5, $\sqrt{41}-\frac{\sqrt{41}}{4}$) = (2.5, 2.5, $\frac{3\sqrt{41}}{4}$).
Шаг 3
Плоскость $\alpha$ содержит прямую KN и параллельна прямой BC. Значит, она параллельна векторам $\vec{KN}$ и $\vec{BC}$. Находим: $\vec{KN} = (1.5, -1.5, \frac{3\sqrt{41}}{4})$, $\vec{BC} = (0, 4, 0)$.
Шаг 4
Найдём вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $\alpha$ через векторное произведение: $\vec{n_1} = \vec{BC} \times \vec{KN}$. Вычисляем: $\vec{n_1} = \left(4 \cdot \frac{3\sqrt{41}}{4} - 0 \cdot (-1.5), \ 0 \cdot 1.5 - 0 \cdot \frac{3\sqrt{41}}{4}, \ 0 \cdot (-1.5) - 4 \cdot 1.5 \right) = (3\sqrt{41}, 0, -6)$. Для удобства умножим на $\frac{1}{4}$: $\vec{n_1} = (\frac{3\sqrt{41}}{4}, 0, -\frac{3}{2})$, но далее используем (3$\sqrt{41}$, 0, -6).
Шаг 5
Докажем, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой SA. Вектор $\vec{SA} = (-2, -2, -\sqrt{41})$. Проверим ортогональность $\vec{SA}$ и $\vec{n_1}$: $\vec{SA} \cdot \vec{n_1} = (-2)\cdot 3\sqrt{41} + (-2)\cdot 0 + (-\sqrt{41})\cdot(-6) = -6\sqrt{41} + 6\sqrt{41} = 0$. Значит, $\vec{SA}$ перпендикулярен нормали к плоскости $\alpha$, следовательно, SA параллельна плоскости $\alpha$. Доказано.
Шаг 6
Найдём угол между плоскостями $\alpha$ и (SBC). Для плоскости SBC возьмём точки S(2,2,$\sqrt{41}$), B(4,0,0), C(4,4,0). Векторы: $\vec{SB}=(2,-2,-\sqrt{41})$, $\vec{SC}=(2,2,-\sqrt{41})$. Вектор нормали $\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC}$. Вычисляем: $\vec{n_2} = \left( (-2)(-\sqrt{41}) - (-\sqrt{41})(2), \ (-\sqrt{41})(2) - (2)(-\sqrt{41}), \ (2)(2) - (-2)(2) \right) = (2\sqrt{41}+2\sqrt{41}, \ -2\sqrt{41}+2\sqrt{41}, \ 4+4) = (4\sqrt{41}, 0, 8)$. Упростим, разделив на 4: $\vec{n_2} = (\sqrt{41}, 0, 2)$.
Шаг 7
Угол $\theta$ между плоскостями равен углу между их нормалями: $\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$.
Вычисляем скалярное произведение: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (3\sqrt{41}) \cdot \sqrt{41} + 0 \cdot 0 + (-6) \cdot 2 = 3 \cdot 41 - 12 = 123 - 12 = 111$.
Модули: $|\vec{n_1}| = \sqrt{(3\sqrt{41})^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 \cdot 41 + 36} = \sqrt{369+36}=\sqrt{405}=9\sqrt{5}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{(\sqrt{41})^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{41+4}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.
Тогда $\cos\theta = \frac{111}{9\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{111}{9 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{111}{135} = \frac{37}{45}$.
Вычисляем скалярное произведение: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (3\sqrt{41}) \cdot \sqrt{41} + 0 \cdot 0 + (-6) \cdot 2 = 3 \cdot 41 - 12 = 123 - 12 = 111$.
Модули: $|\vec{n_1}| = \sqrt{(3\sqrt{41})^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 \cdot 41 + 36} = \sqrt{369+36}=\sqrt{405}=9\sqrt{5}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{(\sqrt{41})^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{41+4}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.
Тогда $\cos\theta = \frac{111}{9\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{111}{9 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{111}{135} = \frac{37}{45}$.
Шаг 8
Искомый угол: $\theta = \arccos\frac{37}{45} \approx 34.8^\circ$.
Окончательный ответ:
$\arccos\frac{37}{45}$ (приблизительно $34.8^\circ$).