Шаг 1
Введём систему координат. Пусть $A=(0,0,0)$, $B=(12,0,0)$, $D=(0,a,0)$, $A_1=(0,0,10)$. Тогда $C=(12,a,0)$, $D_1=(0,a,10)$.
Результат:
Координаты всех вершин заданы.
Шаг 2
Найдём векторы. Вектор $AC = (12, a, 0)$. Вектор $BD_1 = D_1 - B = (-12, a, 10)$.
Результат:
Плоскость $\alpha$ содержит прямую $BD_1$ и параллельна $AC$, поэтому она натянута на векторы $AC$ и $BD_1$.
Шаг 3
По условию сечение плоскостью $\alpha$ — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны. Это свойство приводит к симметрии сечения.
Результат:
Из симметрии следует, что $AB = AD$, то есть $a = 12$.
Шаг 4
Так как $AB = AD = 12$, грань $ABCD$ — квадрат.
Результат:
Доказан пункт (а).
Шаг 5
Перейдём к пункту (б). При $a=12$: $AC=(12,12,0)$, $BD_1=(-12,12,10)$. Найдём нормальный вектор плоскости $\alpha$: $N = AC \times BD_1$.
Результат:
$N = (12 \cdot 10 - 0 \cdot 12,\; 0 \cdot (-12) - 12 \cdot 10,\; 12 \cdot 12 - 12 \cdot (-12)) = (120, -120, 288)$. Упростим: $N = (20, -20, 48)$.
Шаг 6
Для плоскости $BCC_1$ (грань): $B=(12,0,0)$, $C=(12,12,0)$, $C_1=(12,12,10)$. Векторы $BC = (0,12,0)$ и $CC_1 = (0,0,10)$. Их векторное произведение даёт нормаль $n = BC \times CC_1 = (12 \cdot 10 - 0 \cdot 0,\; 0 \cdot 0 - 0 \cdot 10,\; 0 \cdot 0 - 12 \cdot 0) = (120, 0, 0)$. Можно взять $n = (1, 0, 0)$.
Результат:
Нормали плоскостей: $N = (20, -20, 48)$ и $n = (1, 0, 0)$.
Шаг 7
Угол $\varphi$ между плоскостями равен углу между их нормалями. $\cos \varphi = \frac{|N \cdot n|}{\|N\| \cdot \|n\|}$.
Результат:
$N \cdot n = 20$, $\|n\| = 1$, $\|N\| = \sqrt{20^2 + (-20)^2 + 48^2} = \sqrt{400+400+2304} = \sqrt{3104} = 4\sqrt{194}$.
Шаг 8
$\cos \varphi = \frac{20}{4\sqrt{194}} = \frac{5}{\sqrt{194}}$. Тогда $\varphi = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{194}}\right)$.
Результат:
$\varphi \approx 68.98^\circ$.
Окончательный ответ:
$68.98^\circ$