Шаг 1
Условие неотрицательности правой части.
Результат:
$x^2+4x-8a \ge 0$.
Шаг 2
Возводим уравнение в квадрат.
Результат:
$x^4-16x^2+64a^2 = (x^2+4x-8a)^2$.
Шаг 3
Упрощаем, раскрывая скобки и приводя подобные.
Результат:
$8x(x^2+(4-2a)x-8a)=0$.
Шаг 4
Находим корни.
Результат:
$x=0$ или $x^2+(4-2a)x-8a=0$. Корни квадратного уравнения: $x = -2+a \pm |a+2|$.
Шаг 5
Анализируем корни в зависимости от $a$.
Результат:
При любом $a$ корни квадратного уравнения равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 2a$.
Шаг 6
Исходное уравнение имеет ровно три различных решения, если среди чисел $0$, $-4$, $2a$ ровно три удовлетворяют условию $x^2+4x-8a \ge 0$ и являются различными.
Результат:
Это выполняется, когда $2a \neq 0$, $2a \neq -4$ (т.е. $a \neq 0$ и $a \neq -2$) и при этом $a \le 0$ (чтобы неравенство выполнялось для $x=0$, так как $-8a \ge 0$).
Окончательный ответ:
$(-\infty,-2)\cup(-2,0)$