Шаг 1
Анализ условия.
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в эту окружность.
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в эту окружность.
Шаг 2
Доказательство подобия $\triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1$.
В вписанном четырёхугольнике $BCB_1C_1$: $\angle B + \angle B_1C_1C = 180^\circ$.
Так как $\angle B_1C_1C$ и $\angle AC_1B_1$ смежные, то $\angle AC_1B_1 = \angle B$.
Аналогично, $\angle AB_1C_1 = \angle C$.
У треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$ угол $A$ общий, и $\angle AC_1B_1 = \angle B$, $\angle AB_1C_1 = \angle C$.
В вписанном четырёхугольнике $BCB_1C_1$: $\angle B + \angle B_1C_1C = 180^\circ$.
Так как $\angle B_1C_1C$ и $\angle AC_1B_1$ смежные, то $\angle AC_1B_1 = \angle B$.
Аналогично, $\angle AB_1C_1 = \angle C$.
У треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$ угол $A$ общий, и $\angle AC_1B_1 = \angle B$, $\angle AB_1C_1 = \angle C$.
Результат:
$\triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1$ по трём углам.
Шаг 3
Использование отношения площадей.
Дано: $S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{4} S_{BCB_1C_1}$.
Так как $S_{BCB_1C_1} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AB_1C_1}$, то $S_{\triangle ABC} = 5S_{\triangle AB_1C_1}$.
Коэффициент подобия $k = \frac{B_1C_1}{BC}$. Отношение площадей: $k^2 = \frac{S_{\triangle AB_1C_1}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{5}$.
Дано: $S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{4} S_{BCB_1C_1}$.
Так как $S_{BCB_1C_1} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AB_1C_1}$, то $S_{\triangle ABC} = 5S_{\triangle AB_1C_1}$.
Коэффициент подобия $k = \frac{B_1C_1}{BC}$. Отношение площадей: $k^2 = \frac{S_{\triangle AB_1C_1}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{5}$.
Результат:
$k = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Шаг 4
Нахождение $B_1C_1$.
$B_1C_1 = k \cdot BC = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot 5 = \sqrt{5}$.
$B_1C_1 = k \cdot BC = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot 5 = \sqrt{5}$.
Результат:
$B_1C_1 = \sqrt{5}$.
Шаг 5
Нахождение радиуса окружности.
Рассмотрим $\triangle B_1C C_1$, вписанный в данную окружность.
В нём: $B_1C_1 = \sqrt{5}$, $\angle B_1C C_1 = \angle B$ (опирается на дугу $B_1C_1$), $\angle C B_1 C_1 = \angle C$ (из подобия).
Сумма углов $\triangle ABC$: $\angle B + \angle C = 30^\circ$, так как $\angle A = 150^\circ$.
Рассмотрим $\triangle B_1C C_1$, вписанный в данную окружность.
В нём: $B_1C_1 = \sqrt{5}$, $\angle B_1C C_1 = \angle B$ (опирается на дугу $B_1C_1$), $\angle C B_1 C_1 = \angle C$ (из подобия).
Сумма углов $\triangle ABC$: $\angle B + \angle C = 30^\circ$, так как $\angle A = 150^\circ$.
Шаг 6
Определение $\angle B$ и $\angle C$.
Из $\triangle ABC$: $BC = 5$, $\angle A = 150^\circ$.
По теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 150^\circ$.
Используя теорему синусов: $AB = 10 \sin C$, $AC = 10 \sin B$, где $C = 30^\circ - B$.
Подстановка даёт уравнение: $25 = 100(\sin^2 B + \sin^2 C) + 100\sqrt{3} \sin B \sin C$.
Проверка показывает, что $B = C = 15^\circ$ удовлетворяет уравнению.
Из $\triangle ABC$: $BC = 5$, $\angle A = 150^\circ$.
По теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 150^\circ$.
Используя теорему синусов: $AB = 10 \sin C$, $AC = 10 \sin B$, где $C = 30^\circ - B$.
Подстановка даёт уравнение: $25 = 100(\sin^2 B + \sin^2 C) + 100\sqrt{3} \sin B \sin C$.
Проверка показывает, что $B = C = 15^\circ$ удовлетворяет уравнению.
Результат:
$\angle B = 15^\circ$, $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Шаг 7
Вычисление радиуса.
По теореме синусов для $\triangle B_1C C_1$:
$R = \frac{B_1C_1}{2 \sin \angle B_1C C_1} = \frac{\sqrt{5}}{2 \sin 15^\circ} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{6} + \sqrt{2}$:
$R = \frac{2\sqrt{5}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} = \frac{\sqrt{30} + \sqrt{10}}{2}$.
По теореме синусов для $\triangle B_1C C_1$:
$R = \frac{B_1C_1}{2 \sin \angle B_1C C_1} = \frac{\sqrt{5}}{2 \sin 15^\circ} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{6} + \sqrt{2}$:
$R = \frac{2\sqrt{5}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} = \frac{\sqrt{30} + \sqrt{10}}{2}$.
Окончательный ответ:
$B_1C_1 = \sqrt{5} \approx 2.24$, $R = \frac{\sqrt{30} + \sqrt{10}}{2} \approx 4.32$.