Шаг 1
Доказательство перпендикулярности плоскостей.
Плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны плоскости основания по условию. Следовательно, угол между ними равен углу между их проекциями на основание, то есть углу между прямыми $AB$ и $CD$.
Из условия $\angle BAD + \angle ADC = 90^{\circ}$ и свойств углов трапеции следует, что $AB \perp CD$.
Таким образом, плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны.
Плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны плоскости основания по условию. Следовательно, угол между ними равен углу между их проекциями на основание, то есть углу между прямыми $AB$ и $CD$.
Из условия $\angle BAD + \angle ADC = 90^{\circ}$ и свойств углов трапеции следует, что $AB \perp CD$.
Таким образом, плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны.
Шаг 2
Нахождение площади основания пирамиды $KBCP$.
Треугольник $KBC$ прямоугольный в точке $K$, так как $AB \perp CD$.
Из равенства $AB = CD = 4$ следует, что $KB = KC$.
По теореме Пифагора в равнобедренном прямоугольном треугольнике $KBC$ с гипотенузой $BC = 4$:
$KB = KC = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
Площадь треугольника $KBC$: $S = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2})^2 = 4$.
Треугольник $KBC$ прямоугольный в точке $K$, так как $AB \perp CD$.
Из равенства $AB = CD = 4$ следует, что $KB = KC$.
По теореме Пифагора в равнобедренном прямоугольном треугольнике $KBC$ с гипотенузой $BC = 4$:
$KB = KC = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
Площадь треугольника $KBC$: $S = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2})^2 = 4$.
Шаг 3
Вычисление объёма пирамиды.
Высота пирамиды $KBCP$ равна высоте исходной пирамиды $PABCD$, то есть $9$.
Объём: $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 9 = 12$.
Высота пирамиды $KBCP$ равна высоте исходной пирамиды $PABCD$, то есть $9$.
Объём: $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 9 = 12$.
Окончательный ответ:
12