Шаг 1
Уравнение $\sqrt{4x-1} \cdot \ln(x^2 - 2x + 2 - a^2) = 0$ на $x \in [0, 1]$. Произведение равно нулю, если $\sqrt{4x-1} = 0$ или $\ln(x^2 - 2x + 2 - a^2) = 0$.
Шаг 2
Область определения: $4x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{1}{4}$ и $x^2 - 2x + 2 - a^2 > 0$. Итак, $x \in \left[\frac{1}{4}, 1\right]$.
Шаг 3
Случай 1: $\sqrt{4x-1} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$. Этот корень лежит в $[0, 1]$. Условие логарифма: $\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 - a^2 > 0 \Rightarrow \frac{25}{16} - a^2 > 0 \Rightarrow a^2 < \frac{25}{16} \Rightarrow |a| < \frac{5}{4}$. Результат: при $|a| < \frac{5}{4}$ $x = \frac{1}{4}$ — корень.
Шаг 4
Случай 2: $\ln(x^2 - 2x + 2 - a^2) = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + 2 - a^2 = 1 \Rightarrow (x-1)^2 = a^2 \Rightarrow |x-1| = |a|$. На $[0, 1]$ имеем $|x-1| = 1-x$, поэтому $1-x = |a| \Rightarrow x = 1 - |a|$.
Шаг 5
Условия для $x = 1 - |a|$:
1) $0 \le 1 - |a| \le 1 \Rightarrow 0 \le |a| \le 1$.
2) $x \ge \frac{1}{4} \Rightarrow 1 - |a| \ge \frac{1}{4} \Rightarrow |a| \le \frac{3}{4}$.
Условие логарифма выполнено автоматически, так как $x^2 - 2x + 2 - a^2 = 1 > 0$.
1) $0 \le 1 - |a| \le 1 \Rightarrow 0 \le |a| \le 1$.
2) $x \ge \frac{1}{4} \Rightarrow 1 - |a| \ge \frac{1}{4} \Rightarrow |a| \le \frac{3}{4}$.
Условие логарифма выполнено автоматически, так как $x^2 - 2x + 2 - a^2 = 1 > 0$.
Результат:
$x = 1 - |a|$ является корнем при $|a| \le \frac{3}{4}$.
Шаг 6
Анализ количества корней. Потенциальные корни: $x_1 = \frac{1}{4}$ и $x_2 = 1 - |a|$.
- Если $x_1 = x_2$, то $\frac{1}{4} = 1 - |a| \Rightarrow |a| = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \pm \frac{3}{4}$. При этом $x_1$ существует ($|a| = \frac{3}{4} < \frac{5}{4}$). Получаем один корень.
- Если $x_1 \ne x_2$, то два корня возникают, когда оба существуют: $|a| < \frac{5}{4}$ и $|a| \le \frac{3}{4}$, и $a \ne \pm \frac{3}{4}$. То есть при $|a| \le \frac{3}{4}$ и $a \ne \pm \frac{3}{4}$ — два корня.
- Если $x_2$ не существует ($|a| > \frac{3}{4}$), то остаётся только $x_1$ при условии его существования: $|a| < \frac{5}{4}$. Итак, при $\frac{3}{4} < |a| < \frac{5}{4}$ есть единственный корень $x_1$.
- При $|a| = \frac{5}{4}$ условие для $x_1$ не выполнено (логарифм не определён), $x_2$ также не существует — корней нет.
- При $|a| > \frac{5}{4}$ корней нет.
- Если $x_1 = x_2$, то $\frac{1}{4} = 1 - |a| \Rightarrow |a| = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \pm \frac{3}{4}$. При этом $x_1$ существует ($|a| = \frac{3}{4} < \frac{5}{4}$). Получаем один корень.
- Если $x_1 \ne x_2$, то два корня возникают, когда оба существуют: $|a| < \frac{5}{4}$ и $|a| \le \frac{3}{4}$, и $a \ne \pm \frac{3}{4}$. То есть при $|a| \le \frac{3}{4}$ и $a \ne \pm \frac{3}{4}$ — два корня.
- Если $x_2$ не существует ($|a| > \frac{3}{4}$), то остаётся только $x_1$ при условии его существования: $|a| < \frac{5}{4}$. Итак, при $\frac{3}{4} < |a| < \frac{5}{4}$ есть единственный корень $x_1$.
- При $|a| = \frac{5}{4}$ условие для $x_1$ не выполнено (логарифм не определён), $x_2$ также не существует — корней нет.
- При $|a| > \frac{5}{4}$ корней нет.
Шаг 7
Уравнение имеет ровно один корень на $[0, 1]$ при:
1) $a = \pm \frac{3}{4}$ (корни совпадают)
2) $\frac{3}{4} < |a| < \frac{5}{4}$ (только $x_1$)
Объединяя: $a \in \left(-\frac{5}{4}, -\frac{3}{4}\right] \cup \left[\frac{3}{4}, \frac{5}{4}\right)$.
1) $a = \pm \frac{3}{4}$ (корни совпадают)
2) $\frac{3}{4} < |a| < \frac{5}{4}$ (только $x_1$)
Объединяя: $a \in \left(-\frac{5}{4}, -\frac{3}{4}\right] \cup \left[\frac{3}{4}, \frac{5}{4}\right)$.
Окончательный ответ:
$\left(-\frac{5}{4}, -\frac{3}{4}\right] \cup \left[\frac{3}{4}, \frac{5}{4}\right)$