а) Доказательство перпендикулярности $AB$ и $CD$
Шаг 1: В квадрате $KLMN$: $KL \parallel MN$ и $KN \parallel LM$.
Шаг 2: $KL$ лежит в плоскости $(ACD)$, $MN$ лежит в плоскости $(BCD)$. Так как $KL \parallel MN$, то $KL$ параллельна плоскости $(BCD)$. Прямая $CD$ — пересечение $(ACD)$ и $(BCD)$, поэтому $KL \parallel CD$.
Шаг 3: $KN$ лежит в плоскости $(ABC)$, $LM$ лежит в плоскости $(ABD)$. Так как $KN \parallel LM$, то $KN$ параллельна плоскости $(ABD)$. Прямая $AB$ — пересечение $(ABC)$ и $(ABD)$, поэтому $KN \parallel AB$.
Шаг 4: В квадрате $KLMN$: $KL \perp KN$. Так как $KL \parallel CD$ и $KN \parallel AB$, то $CD \perp AB$.
Шаг 2: $KL$ лежит в плоскости $(ACD)$, $MN$ лежит в плоскости $(BCD)$. Так как $KL \parallel MN$, то $KL$ параллельна плоскости $(BCD)$. Прямая $CD$ — пересечение $(ACD)$ и $(BCD)$, поэтому $KL \parallel CD$.
Шаг 3: $KN$ лежит в плоскости $(ABC)$, $LM$ лежит в плоскости $(ABD)$. Так как $KN \parallel LM$, то $KN$ параллельна плоскости $(ABD)$. Прямая $AB$ — пересечение $(ABC)$ и $(ABD)$, поэтому $KN \parallel AB$.
Шаг 4: В квадрате $KLMN$: $KL \perp KN$. Так как $KL \parallel CD$ и $KN \parallel AB$, то $CD \perp AB$.
Результат:
$AB \perp CD$ доказано.
б) Найти расстояние от $B$ до плоскости $KLM$
Шаг 1: Из доказанного: $KL \parallel CD$ и $KN \parallel AB$. Поэтому точки делят рёбра в одинаковых отношениях: $AL:LD = BN:NC = BM:MD = 2:3$.
Шаг 2: Введём векторы: $\vec{AB} = \vec{u}$, $\vec{AC} = \vec{v}$, $\vec{AD} = \vec{w}$, точка $A$ — начало координат. Тогда:
- $K = \frac{2}{5}\vec{v}$
- $L = \frac{2}{5}\vec{w}$
- $N = B + \frac{2}{5}(\vec{v} - \vec{u}) = \vec{u} + \frac{2}{5}(\vec{v} - \vec{u}) = \frac{3}{5}\vec{u} + \frac{2}{5}\vec{v}$
- $M = B + \frac{2}{5}(\vec{w} - \vec{u}) = \vec{u} + \frac{2}{5}(\vec{w} - \vec{u}) = \frac{3}{5}\vec{u} + \frac{2}{5}\vec{w}$
Шаг 3: Вычислим векторы в квадрате:
$KL = L - K = \frac{2}{5}(\vec{w} - \vec{v})$
$KN = N - K = \frac{3}{5}\vec{u}$
Условия квадрата: $|KL| = |KN| = 2$ и $KL \cdot KN = 0$.
Из $|KN| = 2$: $\frac{3}{5}|\vec{u}| = 2 \Rightarrow |\vec{u}| = \frac{10}{3}$.
Из $KL \cdot KN = 0$: $\frac{6}{25} \vec{u} \cdot (\vec{w} - \vec{v}) = 0 \Rightarrow \vec{u} \cdot (\vec{w} - \vec{v}) = 0$ (что согласуется с $AB \perp CD$).
Из $|KL| = 2$: $\frac{2}{5}|\vec{w} - \vec{v}| = 2 \Rightarrow |\vec{w} - \vec{v}| = 5$.
Шаг 4: Объём тетраэдра: $V = \frac{1}{6}|\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = 25$.
Выберем удобную систему координат, используя условия:
- Пусть $\vec{b} = \vec{w} - \vec{v} = (5, 0, 0)$ (так как $|\vec{b}| = 5$ и $\vec{u} \perp \vec{b}$).
- Пусть $\vec{u} = \left(0, \frac{10}{3}, 0\right)$ (так как $|\vec{u}| = \frac{10}{3}$ и $\vec{u} \perp \vec{b}$).
- Пусть $\vec{v} = (x, y, z)$, тогда $\vec{w} = \vec{v} + \vec{b} = (x+5, y, z)$.
Вычислим смешанное произведение:
$\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = определитель = -\frac{10}{3} \left( xz - z(x+5) \right) = \frac{50}{3} z$.
Тогда $\frac{1}{6} \cdot \frac{50}{3} |z| = 25 \Rightarrow \frac{50|z|}{18} = 25 \Rightarrow |z| = 9$.
Шаг 5: Найдём расстояние от $B$ до плоскости $KLM$.
Координаты точек:
$K = \frac{2}{5}(x, y, z)$,
$L = \frac{2}{5}(x+5, y, z)$,
$M = \frac{3}{5}\vec{u} + \frac{2}{5}\vec{w} = (0, 2, 0) + \frac{2}{5}(x+5, y, z)$.
Заметим, что все точки $K, L, M$ имеют одинаковую $z$-координату: $z_K = z_L = z_M = \frac{2}{5}z$. Значит, плоскость $KLM$ горизонтальна: $z = \frac{2}{5}z$.
Точка $B$ имеет координаты $\vec{u} = (0, \frac{10}{3}, 0)$, поэтому $z_B = 0$.
Расстояние от $B$ до плоскости $KLM$ равно модулю разности $z$-координат:
$d = \left| 0 - \frac{2}{5}z \right| = \frac{2}{5}|z| = \frac{2}{5} \cdot 9 = \frac{18}{5} = 3.6$.
Шаг 2: Введём векторы: $\vec{AB} = \vec{u}$, $\vec{AC} = \vec{v}$, $\vec{AD} = \vec{w}$, точка $A$ — начало координат. Тогда:
- $K = \frac{2}{5}\vec{v}$
- $L = \frac{2}{5}\vec{w}$
- $N = B + \frac{2}{5}(\vec{v} - \vec{u}) = \vec{u} + \frac{2}{5}(\vec{v} - \vec{u}) = \frac{3}{5}\vec{u} + \frac{2}{5}\vec{v}$
- $M = B + \frac{2}{5}(\vec{w} - \vec{u}) = \vec{u} + \frac{2}{5}(\vec{w} - \vec{u}) = \frac{3}{5}\vec{u} + \frac{2}{5}\vec{w}$
Шаг 3: Вычислим векторы в квадрате:
$KL = L - K = \frac{2}{5}(\vec{w} - \vec{v})$
$KN = N - K = \frac{3}{5}\vec{u}$
Условия квадрата: $|KL| = |KN| = 2$ и $KL \cdot KN = 0$.
Из $|KN| = 2$: $\frac{3}{5}|\vec{u}| = 2 \Rightarrow |\vec{u}| = \frac{10}{3}$.
Из $KL \cdot KN = 0$: $\frac{6}{25} \vec{u} \cdot (\vec{w} - \vec{v}) = 0 \Rightarrow \vec{u} \cdot (\vec{w} - \vec{v}) = 0$ (что согласуется с $AB \perp CD$).
Из $|KL| = 2$: $\frac{2}{5}|\vec{w} - \vec{v}| = 2 \Rightarrow |\vec{w} - \vec{v}| = 5$.
Шаг 4: Объём тетраэдра: $V = \frac{1}{6}|\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = 25$.
Выберем удобную систему координат, используя условия:
- Пусть $\vec{b} = \vec{w} - \vec{v} = (5, 0, 0)$ (так как $|\vec{b}| = 5$ и $\vec{u} \perp \vec{b}$).
- Пусть $\vec{u} = \left(0, \frac{10}{3}, 0\right)$ (так как $|\vec{u}| = \frac{10}{3}$ и $\vec{u} \perp \vec{b}$).
- Пусть $\vec{v} = (x, y, z)$, тогда $\vec{w} = \vec{v} + \vec{b} = (x+5, y, z)$.
Вычислим смешанное произведение:
$\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = определитель = -\frac{10}{3} \left( xz - z(x+5) \right) = \frac{50}{3} z$.
Тогда $\frac{1}{6} \cdot \frac{50}{3} |z| = 25 \Rightarrow \frac{50|z|}{18} = 25 \Rightarrow |z| = 9$.
Шаг 5: Найдём расстояние от $B$ до плоскости $KLM$.
Координаты точек:
$K = \frac{2}{5}(x, y, z)$,
$L = \frac{2}{5}(x+5, y, z)$,
$M = \frac{3}{5}\vec{u} + \frac{2}{5}\vec{w} = (0, 2, 0) + \frac{2}{5}(x+5, y, z)$.
Заметим, что все точки $K, L, M$ имеют одинаковую $z$-координату: $z_K = z_L = z_M = \frac{2}{5}z$. Значит, плоскость $KLM$ горизонтальна: $z = \frac{2}{5}z$.
Точка $B$ имеет координаты $\vec{u} = (0, \frac{10}{3}, 0)$, поэтому $z_B = 0$.
Расстояние от $B$ до плоскости $KLM$ равно модулю разности $z$-координат:
$d = \left| 0 - \frac{2}{5}z \right| = \frac{2}{5}|z| = \frac{2}{5} \cdot 9 = \frac{18}{5} = 3.6$.
Окончательный ответ:
$3.6$