Шаг 1
Запишем уравнение и область определения.
Уравнение: $\frac{4\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x}{\sqrt{7\sin x}} = 0$.
Знаменатель отличен от нуля, подкоренное выражение должно быть положительным, поэтому $\sin x > 0$.
Уравнение: $\frac{4\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x}{\sqrt{7\sin x}} = 0$.
Знаменатель отличен от нуля, подкоренное выражение должно быть положительным, поэтому $\sin x > 0$.
Шаг 2
Приравниваем числитель к нулю.
$4\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x = 0$.
Выносим $2\sin x$: $2\sin x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0$.
$4\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x = 0$.
Выносим $2\sin x$: $2\sin x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0$.
Шаг 3
Решаем полученное уравнение.
Из $2\sin x = 0$ следует $\sin x = 0$, но это не удовлетворяет условию $\sin x > 0$.
Из $2\sin x - \sqrt{3} = 0$ получаем $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Из $2\sin x = 0$ следует $\sin x = 0$, но это не удовлетворяет условию $\sin x > 0$.
Из $2\sin x - \sqrt{3} = 0$ получаем $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Шаг 4
Находим общее решение.
При $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеем:
$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Оба семейства удовлетворяют условию $\sin x > 0$.
При $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеем:
$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Оба семейства удовлетворяют условию $\sin x > 0$.
Шаг 5
Отбираем корни на отрезке $\left[-\frac{13\pi}{2}; -5\pi\right]$.
Подставляем $k = -3$:
$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot (-3) = \frac{\pi}{3} - 6\pi = -\frac{17\pi}{3}$,
$x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot (-3) = \frac{2\pi}{3} - 6\pi = -\frac{16\pi}{3}$.
Оба числа принадлежат заданному отрезку.
Подставляем $k = -3$:
$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot (-3) = \frac{\pi}{3} - 6\pi = -\frac{17\pi}{3}$,
$x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot (-3) = \frac{2\pi}{3} - 6\pi = -\frac{16\pi}{3}$.
Оба числа принадлежат заданному отрезку.
Окончательный ответ:
$-\frac{17\pi}{3}$, $-\frac{16\pi}{3}$.