Шаг 1
Определяем область допустимых значений.
Условия: $3-x>0$, $x^{2}-7x+12>0$, $5-x>0$.
Условия: $3-x>0$, $x^{2}-7x+12>0$, $5-x>0$.
Результат:
$x<3$ (из первого и третьего условий, второе даёт $x<3$ или $x>4$, но $x<3$ сильнее).
Шаг 2
Преобразуем неравенство.
Основание логарифма $5>1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$(3-x)(x^{2}+2) \ge (x^{2}-7x+12)(5-x)$.
Основание логарифма $5>1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$(3-x)(x^{2}+2) \ge (x^{2}-7x+12)(5-x)$.
Шаг 3
Упрощаем.
Разложим $x^{2}-7x+12 = (x-3)(x-4)$. Подставим:
$(3-x)(x^{2}+2) \ge (x-3)(x-4)(5-x)$.
Выразим $3-x = -(x-3)$ и перенесём всё в одну сторону:
$-(x-3)(x^{2}+2) - (x-3)(x-4)(5-x) \ge 0$.
Выносим общий множитель $(x-3)$:
$(x-3)[-(x^{2}+2) - (x-4)(5-x)] \ge 0$.
Разложим $x^{2}-7x+12 = (x-3)(x-4)$. Подставим:
$(3-x)(x^{2}+2) \ge (x-3)(x-4)(5-x)$.
Выразим $3-x = -(x-3)$ и перенесём всё в одну сторону:
$-(x-3)(x^{2}+2) - (x-3)(x-4)(5-x) \ge 0$.
Выносим общий множитель $(x-3)$:
$(x-3)[-(x^{2}+2) - (x-4)(5-x)] \ge 0$.
Шаг 4
Раскрываем скобки и упрощаем выражение в квадратных скобках.
$-(x^{2}+2) - (x-4)(5-x) = -x^{2}-2 - (5x-x^{2}-20+4x) = -x^{2}-2 - (9x - x^{2} - 20)$.
$= -x^{2}-2 -9x + x^{2} + 20 = -9x + 18 = -9(x-2)$.
Исходное неравенство принимает вид:
$(x-3) \cdot [-9(x-2)] \ge 0$, или $-9(x-3)(x-2) \ge 0$.
$-(x^{2}+2) - (x-4)(5-x) = -x^{2}-2 - (5x-x^{2}-20+4x) = -x^{2}-2 - (9x - x^{2} - 20)$.
$= -x^{2}-2 -9x + x^{2} + 20 = -9x + 18 = -9(x-2)$.
Исходное неравенство принимает вид:
$(x-3) \cdot [-9(x-2)] \ge 0$, или $-9(x-3)(x-2) \ge 0$.
Шаг 5
Решаем упрощённое неравенство.
Делим на $-9$ (меняем знак неравенства):
$(x-3)(x-2) \le 0$.
Решением этого квадратного неравенства является $2 \le x \le 3$.
Учитывая ОДЗ ($x<3$), получаем $2 \le x < 3$.
Делим на $-9$ (меняем знак неравенства):
$(x-3)(x-2) \le 0$.
Решением этого квадратного неравенства является $2 \le x \le 3$.
Учитывая ОДЗ ($x<3$), получаем $2 \le x < 3$.
Окончательный ответ:
$[2, 3)$.