Шаг 1
Перепишем систему для $x \in [4; 5]$:
1) $a(x - 1) \ge 4$
2) $\sqrt{2x - 2} \ge a$
3) $3x < a + 14$
1) $a(x - 1) \ge 4$
2) $\sqrt{2x - 2} \ge a$
3) $3x < a + 14$
Результат:
три условия на $a$ и $x$.
Шаг 2
Выразим $a$ из каждого неравенства.
1) При $x \in [4; 5]$ имеем $x - 1 > 0$, поэтому $a \ge \frac{4}{x - 1}$.
2) $\sqrt{2x - 2} \ge a \Rightarrow a \le \sqrt{2x - 2}$.
3) $3x < a + 14 \Rightarrow a > 3x - 14$.
1) При $x \in [4; 5]$ имеем $x - 1 > 0$, поэтому $a \ge \frac{4}{x - 1}$.
2) $\sqrt{2x - 2} \ge a \Rightarrow a \le \sqrt{2x - 2}$.
3) $3x < a + 14 \Rightarrow a > 3x - 14$.
Результат:
условия на $a$: $a \ge \frac{4}{x - 1}$, $a \le \sqrt{2x - 2}$, $a > 3x - 14$.
Шаг 3
Система имеет решение, если существует $x \in [4; 5]$, для которого интервал для $a$ непуст:
$\max\left( \frac{4}{x - 1},\; 3x - 14 \right) < a \le \sqrt{2x - 2}$.
$\max\left( \frac{4}{x - 1},\; 3x - 14 \right) < a \le \sqrt{2x - 2}$.
Результат:
условие непустоты: $\max\left( \frac{4}{x - 1},\; 3x - 14 \right) < \sqrt{2x - 2}$ для некоторого $x \in [4; 5]$.
Шаг 4
Сравним $3x - 14$ и $\frac{4}{x - 1}$ на $[4; 5]$.
Решаем $3x - 14 = \frac{4}{x - 1}$:
$(3x - 14)(x - 1) = 4$
$3x^{2} - 17x + 10 = 0$
$D = 169$, корни $x = 5$ и $x = \frac{2}{3}$.
При $x=4$: $3x - 14 = -2$, $\frac{4}{x - 1} = \frac{4}{3} \approx 1.333$.
При $x=5$: $3x - 14 = 1$, $\frac{4}{x - 1} = 1$.
Значит, на $[4; 5]$ выполняется $3x - 14 \le \frac{4}{x - 1}$ (равенство только при $x=5$).
Решаем $3x - 14 = \frac{4}{x - 1}$:
$(3x - 14)(x - 1) = 4$
$3x^{2} - 17x + 10 = 0$
$D = 169$, корни $x = 5$ и $x = \frac{2}{3}$.
При $x=4$: $3x - 14 = -2$, $\frac{4}{x - 1} = \frac{4}{3} \approx 1.333$.
При $x=5$: $3x - 14 = 1$, $\frac{4}{x - 1} = 1$.
Значит, на $[4; 5]$ выполняется $3x - 14 \le \frac{4}{x - 1}$ (равенство только при $x=5$).
Результат:
$\max\left( \frac{4}{x - 1},\; 3x - 14 \right) = \frac{4}{x - 1}$ для $x \in [4; 5)$ и равно $1$ при $x=5$.
Шаг 5
Проверим $x=5$ отдельно.
$\sqrt{2 \cdot 5 - 2} = \sqrt{8} \approx 2.828$, условие $1 < \sqrt{8}$ верно.
Значит, при $x=5$ интервал для $a$: $a \in (1, \sqrt{8}]$ — непуст.
$\sqrt{2 \cdot 5 - 2} = \sqrt{8} \approx 2.828$, условие $1 < \sqrt{8}$ верно.
Значит, при $x=5$ интервал для $a$: $a \in (1, \sqrt{8}]$ — непуст.
Шаг 6
Для $x \in [4; 5)$ условие: $\frac{4}{x - 1} < \sqrt{2x - 2}$.
Возводим в квадрат (обе части положительны):
$\frac{16}{(x - 1)^{2}} < 2x - 2$
$\frac{16}{(x - 1)^{2}} < 2(x - 1)$
$16 < 2(x - 1)^{3}$
$(x - 1)^{3} > 8$
$x - 1 > 2$
$x > 3$.
На $[4; 5)$ это верно для всех $x$.
Возводим в квадрат (обе части положительны):
$\frac{16}{(x - 1)^{2}} < 2x - 2$
$\frac{16}{(x - 1)^{2}} < 2(x - 1)$
$16 < 2(x - 1)^{3}$
$(x - 1)^{3} > 8$
$x - 1 > 2$
$x > 3$.
На $[4; 5)$ это верно для всех $x$.
Результат:
для любого $x \in [4; 5)$ интервал $a \in \left( \frac{4}{x - 1},\; \sqrt{2x - 2} \right]$ непуст.
Шаг 7
Найдем все $a$, для которых существует подходящий $x \in [4; 5]$.
Рассмотрим функции: $f_{1}(x) = \frac{4}{x - 1}$ (убывает), $f_{2}(x) = \sqrt{2x - 2}$ (возрастает).
Нужно: существует $x$ такое, что $f_{1}(x) < a \le f_{2}(x)$.
Рассмотрим функции: $f_{1}(x) = \frac{4}{x - 1}$ (убывает), $f_{2}(x) = \sqrt{2x - 2}$ (возрастает).
Нужно: существует $x$ такое, что $f_{1}(x) < a \le f_{2}(x)$.
Шаг 8
Анализ возможных $a$.
При $a \in (1, \sqrt{8}]$ можно взять $x=5$: $f_{1}(5)=1 < a$ и $a \le f_{2}(5)=\sqrt{8}$ выполнено.
При $a > \sqrt{8}$ неравенство $a \le f_{2}(x)$ не выполняется ни для какого $x$, так как $f_{2}(x) \le \sqrt{8}$.
При $a \le 1$ условие $a > f_{1}(x)$ не выполняется, потому что $f_{1}(x) \ge 1$ на $[4; 5]$ и $f_{1}(x) > 1$ при $x<5$.
При $a \in (1, \sqrt{8}]$ можно взять $x=5$: $f_{1}(5)=1 < a$ и $a \le f_{2}(5)=\sqrt{8}$ выполнено.
При $a > \sqrt{8}$ неравенство $a \le f_{2}(x)$ не выполняется ни для какого $x$, так как $f_{2}(x) \le \sqrt{8}$.
При $a \le 1$ условие $a > f_{1}(x)$ не выполняется, потому что $f_{1}(x) \ge 1$ на $[4; 5]$ и $f_{1}(x) > 1$ при $x<5$.
Результат:
подходят только $a \in (1, \sqrt{8}]$.
Шаг 9
Окончательный ответ: $(1, \sqrt{8}]$, то есть $(1, 2\sqrt{2}]$.
Окончательный ответ:
$(1, 2\sqrt{2}]$