Шаг 1
Решаем неравенство $\frac{1}{3x+21} + \frac{1}{3x-27} \geq 0$.
Шаг 2
Приводим к общему знаменателю:
$$
\frac{(3x-27) + (3x+21)}{(3x+21)(3x-27)} \geq 0 \Rightarrow \frac{6x - 6}{(3x+21)(3x-27)} \geq 0.
$$
$$
\frac{(3x-27) + (3x+21)}{(3x+21)(3x-27)} \geq 0 \Rightarrow \frac{6x - 6}{(3x+21)(3x-27)} \geq 0.
$$
Шаг 3
Упрощаем, вынося множители:
$$
\frac{6(x-1)}{3(x+7) \cdot 3(x-9)} \geq 0 \Rightarrow \frac{6(x-1)}{9(x+7)(x-9)} \geq 0 \Rightarrow \frac{2(x-1)}{3(x+7)(x-9)} \geq 0.
$$
Положительный множитель $\frac{2}{3}$ можно опустить. Получаем:
$$
\frac{x-1}{(x+7)(x-9)} \geq 0.
$$
$$
\frac{6(x-1)}{3(x+7) \cdot 3(x-9)} \geq 0 \Rightarrow \frac{6(x-1)}{9(x+7)(x-9)} \geq 0 \Rightarrow \frac{2(x-1)}{3(x+7)(x-9)} \geq 0.
$$
Положительный множитель $\frac{2}{3}$ можно опустить. Получаем:
$$
\frac{x-1}{(x+7)(x-9)} \geq 0.
$$
Шаг 4
Находим нули числителя и знаменателя: $x = 1$, $x = -7$, $x = 9$. Отмечаем их на числовой прямой и определяем знаки дроби на интервалах:
- $(-\infty, -7)$: знак отрицательный,
- $(-7, 1)$: знак положительный,
- $(1, 9)$: знак отрицательный,
- $(9, +\infty)$: знак положительный.
Неравенство нестрогое, поэтому включаем точку $x = 1$ (где числитель равен нулю) и исключаем точки $x = -7$ и $x = 9$ (где знаменатель обращается в ноль).
- $(-\infty, -7)$: знак отрицательный,
- $(-7, 1)$: знак положительный,
- $(1, 9)$: знак отрицательный,
- $(9, +\infty)$: знак положительный.
Неравенство нестрогое, поэтому включаем точку $x = 1$ (где числитель равен нулю) и исключаем точки $x = -7$ и $x = 9$ (где знаменатель обращается в ноль).
Шаг 5
Объединяем интервалы, где дробь неотрицательна.
Окончательный ответ:
\((-7, 1] \cup (9, +\infty)\).