Шаг 1
Запишем неравенство в корректном виде: $\frac{8x^3 - 4x^2 - 2x + 1}{16x^2 - 4} \cdot (4x^2 + 4) \le 0$. Заметим, что $4x^2 + 4 = 4(x^2 + 1) > 0$ при всех $x$, так как $x^2 + 1 > 0$. Поскольку множитель положителен, его можно сократить, не меняя знак неравенства.
Результат:
$\frac{8x^3 - 4x^2 - 2x + 1}{16x^2 - 4} \le 0$.
Шаг 2
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $8x^3 - 4x^2 - 2x + 1 = (8x^3 - 4x^2) - (2x - 1) = 4x^2(2x - 1) - 1(2x - 1) = (2x - 1)(4x^2 - 1) = (2x - 1)(2x - 1)(2x + 1) = (2x - 1)^2 (2x + 1)$.
Знаменатель: $16x^2 - 4 = 4(4x^2 - 1) = 4(2x - 1)(2x + 1)$.
Числитель: $8x^3 - 4x^2 - 2x + 1 = (8x^3 - 4x^2) - (2x - 1) = 4x^2(2x - 1) - 1(2x - 1) = (2x - 1)(4x^2 - 1) = (2x - 1)(2x - 1)(2x + 1) = (2x - 1)^2 (2x + 1)$.
Знаменатель: $16x^2 - 4 = 4(4x^2 - 1) = 4(2x - 1)(2x + 1)$.
Результат:
неравенство принимает вид $\frac{(2x - 1)^2 (2x + 1)}{4(2x - 1)(2x + 1)} \le 0$.
Шаг 3
Упростим дробь, учитывая ОДЗ. ОДЗ: знаменатель не равен нулю, то есть $4(2x - 1)(2x + 1) \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{2}$ и $x \ne -\frac{1}{2}$.
Сокращаем на $(2x + 1)$ и на один множитель $(2x - 1)$, получаем $\frac{2x - 1}{4} \le 0$, при условии $x \ne \frac{1}{2}$ и $x \ne -\frac{1}{2}$.
Сокращаем на $(2x + 1)$ и на один множитель $(2x - 1)$, получаем $\frac{2x - 1}{4} \le 0$, при условии $x \ne \frac{1}{2}$ и $x \ne -\frac{1}{2}$.
Результат:
упрощённое неравенство $2x - 1 \le 0$ (умножили на $4 > 0$) с учётом ОДЗ.
Шаг 4
Решаем $2x - 1 \le 0 \Rightarrow x \le \frac{1}{2}$. Исключаем точки ОДЗ: $x \ne \frac{1}{2}$ и $x \ne -\frac{1}{2}$. Точка $x = \frac{1}{2}$ не входит, а $x = -\frac{1}{2}$ также исключена, хотя и удовлетворяет $x \le \frac{1}{2}$.
Результат:
$x < \frac{1}{2}$ и $x \ne -\frac{1}{2}$.
Шаг 5
Запишем ответ в виде интервала. Получаем $(-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
Окончательный ответ:
$(-\infty, -0.5) \cup (-0.5, 0.5)$