Шаг 1
Введем замену $t = 8^{x-1} > 0$. Тогда $8^x = 8t$, $64^x = (8^x)^2 = 64t^2$.
Результат:
неравенство принимает вид $2t - 1 \ge \frac{3}{t} + \frac{8}{64t^2 - 40t + 4}$.
Шаг 2
Упростим знаменатель: $64t^2 - 40t + 4 = 4(16t^2 - 10t + 1) = 4(2t - 1)(8t - 1)$.
Тогда неравенство: $2t - 1 \ge \frac{3}{t} + \frac{2}{(2t - 1)(8t - 1)}$.
Тогда неравенство: $2t - 1 \ge \frac{3}{t} + \frac{2}{(2t - 1)(8t - 1)}$.
Шаг 3
Перенесем все в одну сторону: $2t - 1 - \frac{3}{t} - \frac{2}{(2t - 1)(8t - 1)} \ge 0$.
Приведем к общему знаменателю $t(2t - 1)(8t - 1)$:
$\frac{(2t - 1)^2 t (8t - 1) - 3(2t - 1)(8t - 1) - 2t}{t(2t - 1)(8t - 1)} \ge 0$.
Приведем к общему знаменателю $t(2t - 1)(8t - 1)$:
$\frac{(2t - 1)^2 t (8t - 1) - 3(2t - 1)(8t - 1) - 2t}{t(2t - 1)(8t - 1)} \ge 0$.
Шаг 4
Обозначим числитель $N(t) = (2t - 1)^2 t (8t - 1) - 3(2t - 1)(8t - 1) - 2t$.
Раскроем: $N(t) = 32t^4 - 36t^3 - 36t^2 + 27t - 3$.
Раскроем: $N(t) = 32t^4 - 36t^3 - 36t^2 + 27t - 3$.
Шаг 5
Критические точки знаменателя: $t = 0$, $t = \frac{1}{8}$, $t = \frac{1}{2}$.
При $t > 0$ рассматриваем интервалы: $\left(0, \frac{1}{8}\right)$, $\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$.
При $t > 0$ рассматриваем интервалы: $\left(0, \frac{1}{8}\right)$, $\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$.
Шаг 6
Проверим знак дроби $F(t) = \frac{N(t)}{t(2t - 1)(8t - 1)}$ в пробных точках:
- $t = 0.1 \in \left(0, \frac{1}{8}\right)$: $F(0.1) < 0$.
- $t = 0.2 \in \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{2}\right)$: $F(0.2) < 0$.
- $t = 1 \in \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$: $F(1) < 0$.
- $t = 2$: $F(2) > 0$.
Значит, на $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ есть корень $t_0$, где $F(t)$ меняет знак.
- $t = 0.1 \in \left(0, \frac{1}{8}\right)$: $F(0.1) < 0$.
- $t = 0.2 \in \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{2}\right)$: $F(0.2) < 0$.
- $t = 1 \in \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$: $F(1) < 0$.
- $t = 2$: $F(2) > 0$.
Значит, на $\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$ есть корень $t_0$, где $F(t)$ меняет знак.
Шаг 7
Найдем $t_0$ численно из $N(t)=0$.
$t = 1.5$: $F(1.5) < 0$; $t = 1.53$: $F(1.53) > 0$.
Уточняя: $t_0 \approx 1.526$.
Тогда $F(t) \ge 0$ при $t \ge t_0$.
$t = 1.5$: $F(1.5) < 0$; $t = 1.53$: $F(1.53) > 0$.
Уточняя: $t_0 \approx 1.526$.
Тогда $F(t) \ge 0$ при $t \ge t_0$.
Шаг 8
Возвращаемся к $x$: $t = 8^{x-1} \ge t_0 \approx 1.526$.
Логарифмируем: $x - 1 \ge \log_8 1.526 \approx 0.203$.
Следовательно, $x \ge 1 + 0.203 = 1.203$.
Логарифмируем: $x - 1 \ge \log_8 1.526 \approx 0.203$.
Следовательно, $x \ge 1 + 0.203 = 1.203$.
Окончательный ответ:
$x \ge 1.203$ (или $x \ge 1 + \log_8 t_0$, где $t_0 \approx 1.526$).