Шаг 1
Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма положителен: $x^2 - 16 > 0$. Результат: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.
Шаг 2
Введём замену $t = \log_3 (x^2 - 16)$. Исходное неравенство $\log_3^2 (x^2 - 16) - 5 \log_3 (x^2 - 16) + 6 \ge 0$ превращается в $t^2 - 5t + 6 \ge 0$.
Шаг 3
Решаем квадратное неравенство. Корни $t^2 - 5t + 6 = 0$: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$. Так как коэффициент при $t^2$ положителен, неравенство выполняется при $t \le 2$ или $t \ge 3$. Результат: $t \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$.
Шаг 4
Возвращаемся к $x$, учитывая ОДЗ.
1) $\log_3 (x^2 - 16) \le 2$. Так как основание $3 > 1$, получаем $x^2 - 16 \le 9$ $\Rightarrow$ $x^2 \le 25$ $\Rightarrow$ $|x| \le 5$ $\Rightarrow$ $x \in [-5, 5]$. С учётом ОДЗ: $x \in [-5, -4) \cup (4, 5]$.
2) $\log_3 (x^2 - 16) \ge 3$. Получаем $x^2 - 16 \ge 27$ $\Rightarrow$ $x^2 \ge 43$ $\Rightarrow$ $|x| \ge \sqrt{43}$. С учётом ОДЗ: $x \in (-\infty, -\sqrt{43}] \cup [\sqrt{43}, +\infty)$.
1) $\log_3 (x^2 - 16) \le 2$. Так как основание $3 > 1$, получаем $x^2 - 16 \le 9$ $\Rightarrow$ $x^2 \le 25$ $\Rightarrow$ $|x| \le 5$ $\Rightarrow$ $x \in [-5, 5]$. С учётом ОДЗ: $x \in [-5, -4) \cup (4, 5]$.
2) $\log_3 (x^2 - 16) \ge 3$. Получаем $x^2 - 16 \ge 27$ $\Rightarrow$ $x^2 \ge 43$ $\Rightarrow$ $|x| \ge \sqrt{43}$. С учётом ОДЗ: $x \in (-\infty, -\sqrt{43}] \cup [\sqrt{43}, +\infty)$.
Окончательный ответ:
$(-\infty, -\sqrt{43}] \cup [-5, -4) \cup (4, 5] \cup [\sqrt{43}, +\infty)$.