Шаг 1
Найдём ОДЗ и упростим выражение.
Исходное неравенство: $\log_{49}(x+4) + \log_{(x^2+8x+16)}\sqrt{7} \le -\frac{3}{4}$.
Заметим, что $x^2+8x+16 = (x+4)^2$.
Условия: $x+4 > 0$ и $(x+4)^2 > 0$, $(x+4)^2 \neq 1$.
Так как $x+4 > 0$, то $x > -4$ и $x+4 \neq 1 \Rightarrow x \neq -3$.
Исходное неравенство: $\log_{49}(x+4) + \log_{(x^2+8x+16)}\sqrt{7} \le -\frac{3}{4}$.
Заметим, что $x^2+8x+16 = (x+4)^2$.
Условия: $x+4 > 0$ и $(x+4)^2 > 0$, $(x+4)^2 \neq 1$.
Так как $x+4 > 0$, то $x > -4$ и $x+4 \neq 1 \Rightarrow x \neq -3$.
Результат:
ОДЗ: $x \in (-4, +\infty) \setminus \{-3\}$.
Шаг 2
Введём замену $t = x+4$, тогда $t > 0$, $t \neq 1$.
Преобразуем логарифмы:
$\log_{49} t = \frac{\ln t}{2\ln 7}$,
$\log_{t^2} \sqrt{7} = \frac{\ln \sqrt{7}}{\ln t^2} = \frac{\frac{1}{2}\ln 7}{2\ln t} = \frac{\ln 7}{4\ln t}$.
Неравенство принимает вид: $\frac{\ln t}{2\ln 7} + \frac{\ln 7}{4\ln t} \le -\frac{3}{4}$.
Преобразуем логарифмы:
$\log_{49} t = \frac{\ln t}{2\ln 7}$,
$\log_{t^2} \sqrt{7} = \frac{\ln \sqrt{7}}{\ln t^2} = \frac{\frac{1}{2}\ln 7}{2\ln t} = \frac{\ln 7}{4\ln t}$.
Неравенство принимает вид: $\frac{\ln t}{2\ln 7} + \frac{\ln 7}{4\ln t} \le -\frac{3}{4}$.
Шаг 3
Сделаем замену $y = \frac{\ln t}{\ln 7} = \log_7 t$, тогда $\frac{\ln 7}{\ln t} = \frac{1}{y}$ (при $y \neq 0$).
Подставляем: $\frac{y}{2} + \frac{1}{4y} \le -\frac{3}{4}$.
Умножаем на 4: $2y + \frac{1}{y} \le -3$.
Подставляем: $\frac{y}{2} + \frac{1}{4y} \le -\frac{3}{4}$.
Умножаем на 4: $2y + \frac{1}{y} \le -3$.
Шаг 4
Решаем неравенство $2y + \frac{1}{y} + 3 \le 0$.
Приводим к общему знаменателю: $\frac{2y^2 + 3y + 1}{y} \le 0$.
Разложим числитель: $2y^2 + 3y + 1 = (2y+1)(y+1)$.
Получаем: $\frac{(2y+1)(y+1)}{y} \le 0$.
Метод интервалов: нули числителя $y = -\frac{1}{2}$, $y = -1$; нуль знаменателя $y = 0$.
Знаки: $(-\infty, -1)$ — минус, $(-1, -\frac{1}{2})$ — плюс, $(-\frac{1}{2}, 0)$ — минус, $(0, +\infty)$ — плюс.
Неравенство $\le 0$ выполняется при $y \le -1$ или $-\frac{1}{2} < y < 0$.
Приводим к общему знаменателю: $\frac{2y^2 + 3y + 1}{y} \le 0$.
Разложим числитель: $2y^2 + 3y + 1 = (2y+1)(y+1)$.
Получаем: $\frac{(2y+1)(y+1)}{y} \le 0$.
Метод интервалов: нули числителя $y = -\frac{1}{2}$, $y = -1$; нуль знаменателя $y = 0$.
Знаки: $(-\infty, -1)$ — минус, $(-1, -\frac{1}{2})$ — плюс, $(-\frac{1}{2}, 0)$ — минус, $(0, +\infty)$ — плюс.
Неравенство $\le 0$ выполняется при $y \le -1$ или $-\frac{1}{2} < y < 0$.
Шаг 5
Возвращаемся к $t$: $y = \log_7 t$.
1) $\log_7 t \le -1 \Rightarrow 0 < t \le \frac{1}{7}$.
2) $-\frac{1}{2} < \log_7 t < 0 \Rightarrow 7^{-1/2} < t < 1$, то есть $\frac{1}{\sqrt{7}} < t < 1$.
Учитывая $t > 0$, $t \neq 1$, получаем: $t \in \left(0, \frac{1}{7}\right] \cup \left(\frac{1}{\sqrt{7}}, 1\right)$.
1) $\log_7 t \le -1 \Rightarrow 0 < t \le \frac{1}{7}$.
2) $-\frac{1}{2} < \log_7 t < 0 \Rightarrow 7^{-1/2} < t < 1$, то есть $\frac{1}{\sqrt{7}} < t < 1$.
Учитывая $t > 0$, $t \neq 1$, получаем: $t \in \left(0, \frac{1}{7}\right] \cup \left(\frac{1}{\sqrt{7}}, 1\right)$.
Шаг 6
Возвращаемся к $x$: $x = t - 4$.
1) $0 < t \le \frac{1}{7} \Rightarrow -4 < x \le -\frac{27}{7}$.
2) $\frac{1}{\sqrt{7}} < t < 1 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{7}} - 4 < x < -3$.
Учитывая ОДЗ ($x > -4$, $x \neq -3$), получаем:
$x \in (-4, -\frac{27}{7}] \cup \left(\frac{1}{\sqrt{7}} - 4, -3\right)$.
1) $0 < t \le \frac{1}{7} \Rightarrow -4 < x \le -\frac{27}{7}$.
2) $\frac{1}{\sqrt{7}} < t < 1 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{7}} - 4 < x < -3$.
Учитывая ОДЗ ($x > -4$, $x \neq -3$), получаем:
$x \in (-4, -\frac{27}{7}] \cup \left(\frac{1}{\sqrt{7}} - 4, -3\right)$.
Окончательный ответ:
$(-4, -27/7] \cup (1/\sqrt{7} - 4, -3)$