Шаг 1
Введем замену $t = |x - a^2| + |x + 1|$. Уравнение принимает вид $t^2 - 7t + 4a^2 + 4 = 0$.
Результат:
квадратное уравнение относительно $t$.
Шаг 2
Дискриминант: $D = 49 - 4(4a^2 + 4) = 33 - 16a^2$.
Результат:
$D = 33 - 16a^2$.
Шаг 3
Для существования корней $t$ нужно $D \ge 0 \Rightarrow 33 - 16a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 \le \frac{33}{16} \Rightarrow |a| \le \frac{\sqrt{33}}{4}$.
Результат:
$a \in \left[ -\frac{\sqrt{33}}{4}, \frac{\sqrt{33}}{4} \right]$.
Шаг 4
Корни: $t_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{33 - 16a^2}}{2}$. Оба положительны, так как $\sqrt{33 - 16a^2} \le \sqrt{33} < 7$.
Результат:
$t_1 > t_2 > 0$.
Шаг 5
Рассмотрим $f(x) = |x - a^2| + |x + 1|$. Точки излома: $x = a^2$ и $x = -1$. Минимальное значение: $f_{\min} = |a^2 + 1| = a^2 + 1$. При $x \to \pm\infty$ функция $f(x) \to +\infty$.
Результат:
$f(x) \ge a^2 + 1$, график — "галочка".
Шаг 6
Уравнение $f(x) = t$ имеет:
- 0 решений, если $t < a^2 + 1$;
- бесконечно много решений (отрезок), если $t = a^2 + 1$;
- ровно 2 решения, если $t > a^2 + 1$.
- 0 решений, если $t < a^2 + 1$;
- бесконечно много решений (отрезок), если $t = a^2 + 1$;
- ровно 2 решения, если $t > a^2 + 1$.
Результат:
количество корней по $x$ зависит от сравнения $t$ с $a^2 + 1$.
Шаг 7
Исходное уравнение имеет ровно два корня по $x$, если одно из значений $t_1, t_2$ больше $a^2 + 1$, а другое меньше $a^2 + 1$ (тогда одно даёт 2 корня, другое — 0). Так как $t_1 > t_2$, это условие: $t_1 > a^2 + 1$ и $t_2 < a^2 + 1$.
Результат:
система неравенств.
Шаг 8
Запишем систему:
(1) $\frac{7 + \sqrt{33 - 16a^2}}{2} > a^2 + 1$,
(2) $\frac{7 - \sqrt{33 - 16a^2}}{2} < a^2 + 1$.
(1) $\frac{7 + \sqrt{33 - 16a^2}}{2} > a^2 + 1$,
(2) $\frac{7 - \sqrt{33 - 16a^2}}{2} < a^2 + 1$.
Шаг 9
Упростим (1): $\sqrt{33 - 16a^2} > 2a^2 - 5$.
Если $2a^2 - 5 < 0$ ($a^2 < 2.5$), неравенство верно.
Если $2a^2 - 5 \ge 0$, возводим в квадрат: $33 - 16a^2 > (2a^2 - 5)^2 \Rightarrow a^4 - a^2 - 2 < 0 \Rightarrow (a^2 - 2)(a^2 + 1) < 0 \Rightarrow a^2 < 2$, что противоречит $a^2 \ge 2.5$.
Итак, (1) $\Leftrightarrow a^2 < 2.5$.
Если $2a^2 - 5 < 0$ ($a^2 < 2.5$), неравенство верно.
Если $2a^2 - 5 \ge 0$, возводим в квадрат: $33 - 16a^2 > (2a^2 - 5)^2 \Rightarrow a^4 - a^2 - 2 < 0 \Rightarrow (a^2 - 2)(a^2 + 1) < 0 \Rightarrow a^2 < 2$, что противоречит $a^2 \ge 2.5$.
Итак, (1) $\Leftrightarrow a^2 < 2.5$.
Шаг 10
Упростим (2): $\sqrt{33 - 16a^2} > 5 - 2a^2$.
Если $5 - 2a^2 < 0$ ($a^2 > 2.5$), неравенство верно (левая часть $\ge 0$).
Если $5 - 2a^2 \ge 0$, возводим в квадрат: $(5 - 2a^2)^2 < 33 - 16a^2 \Rightarrow a^4 - a^2 - 2 < 0 \Rightarrow a^2 < 2$.
Итак, (2) $\Leftrightarrow a^2 < 2$ или $a^2 > 2.5$.
Если $5 - 2a^2 < 0$ ($a^2 > 2.5$), неравенство верно (левая часть $\ge 0$).
Если $5 - 2a^2 \ge 0$, возводим в квадрат: $(5 - 2a^2)^2 < 33 - 16a^2 \Rightarrow a^4 - a^2 - 2 < 0 \Rightarrow a^2 < 2$.
Итак, (2) $\Leftrightarrow a^2 < 2$ или $a^2 > 2.5$.
Шаг 11
Пересечение (1) и (2): при $a^2 < 2.5$ из (2) берём ветку $a^2 < 2$. Получаем $a^2 < 2$. Учитывая $|a| \le \frac{\sqrt{33}}{4}$ (т.е. $a^2 \le 2.0625$), условие $a^2 < 2$ является более строгим.
Результат:
$|a| < \sqrt{2}$.
Шаг 12
Проверим границу $a^2 = 2$. Тогда $t_2 = \frac{7 - \sqrt{33 - 32}}{2} = 3$, а $a^2 + 1 = 3$, поэтому $t_2 = a^2 + 1$ даёт бесконечно много корней. Не подходит.
Результат:
граница не входит.
Шаг 13
Случай, когда оба $t > a^2 + 1$, даёт 4 корня (разные $t$ дают разные пары $x$), поэтому не подходит.
Результат:
условие $a^2 < 2$ является необходимым и достаточным.
Шаг 14
Учитывая $D \ge 0$ (автоматически при $a^2 < 2$, так как $2 < 2.0625$), получаем окончательный ответ.
Окончательный ответ:
$(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$