Шаг 1
Введем координаты.
Пусть $A(0,0,0)$, $B(6\sqrt{2},0,0)$, $D(0,10,0)$, $A_1(0,0,16)$. Тогда:
$B_1(6\sqrt{2},0,16)$, $C_1(6\sqrt{2},10,16)$, $D_1(0,10,16)$.
Пусть $A(0,0,0)$, $B(6\sqrt{2},0,0)$, $D(0,10,0)$, $A_1(0,0,16)$. Тогда:
$B_1(6\sqrt{2},0,16)$, $C_1(6\sqrt{2},10,16)$, $D_1(0,10,16)$.
Шаг 2
Найдем координаты точек $E$, $F$, $T$.
$A_1E:EA = 5:3$, $AA_1=16$, значит $AE=6$, $E(0,0,6)$.
$B_1F:FB = 5:11$, $BB_1=16$, значит $BF=11$, $F(6\sqrt{2},0,11)$.
$T$ — середина $B_1C_1$, поэтому $T(6\sqrt{2},5,16)$.
$A_1E:EA = 5:3$, $AA_1=16$, значит $AE=6$, $E(0,0,6)$.
$B_1F:FB = 5:11$, $BB_1=16$, значит $BF=11$, $F(6\sqrt{2},0,11)$.
$T$ — середина $B_1C_1$, поэтому $T(6\sqrt{2},5,16)$.
Шаг 3
Докажем, что $D_1$ лежит в плоскости $EFT$.
Векторы: $\overrightarrow{EF}=(6\sqrt{2},0,5)$, $\overrightarrow{ET}=(6\sqrt{2},5,10)$, $\overrightarrow{ED_1}=(0,10,10)$.
Проверим, можно ли $\overrightarrow{ED_1}$ выразить через $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{ET}$: $(0,10,10)=\lambda(6\sqrt{2},0,5)+\mu(6\sqrt{2},5,10)$.
Получаем систему: $6\sqrt{2}\lambda+6\sqrt{2}\mu=0$, $5\mu=10$, $5\lambda+10\mu=10$.
Решение: $\mu=2$, $\lambda=-2$, что удовлетворяет первому уравнению. Значит, векторы компланарны, и $D_1$ лежит в плоскости $EFT$. Часть (а) доказана.
Векторы: $\overrightarrow{EF}=(6\sqrt{2},0,5)$, $\overrightarrow{ET}=(6\sqrt{2},5,10)$, $\overrightarrow{ED_1}=(0,10,10)$.
Проверим, можно ли $\overrightarrow{ED_1}$ выразить через $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{ET}$: $(0,10,10)=\lambda(6\sqrt{2},0,5)+\mu(6\sqrt{2},5,10)$.
Получаем систему: $6\sqrt{2}\lambda+6\sqrt{2}\mu=0$, $5\mu=10$, $5\lambda+10\mu=10$.
Решение: $\mu=2$, $\lambda=-2$, что удовлетворяет первому уравнению. Значит, векторы компланарны, и $D_1$ лежит в плоскости $EFT$. Часть (а) доказана.
Шаг 4
Найдем площадь сечения $EFTD_1$. Разобьем его на два треугольника: $\triangle EFT$ и $\triangle ETD_1$.
Для $\triangle EFT$: векторное произведение $\overrightarrow{EF}\times\overrightarrow{ET}=(-25, -30\sqrt{2}, 30\sqrt{2})$.
Его модуль: $\sqrt{(-25)^2+(-30\sqrt{2})^2+(30\sqrt{2})^2}=\sqrt{625+1800+1800}=\sqrt{4225}=65$.
Площадь $S_{EFT}=\frac{1}{2}\cdot65=32.5$.
Для $\triangle ETD_1$: векторное произведение $\overrightarrow{ET}\times\overrightarrow{ED_1}=(-50, -60\sqrt{2}, 60\sqrt{2})$.
Его модуль: $\sqrt{(-50)^2+(-60\sqrt{2})^2+(60\sqrt{2})^2}=\sqrt{2500+7200+7200}=\sqrt{16900}=130$.
Площадь $S_{ETD_1}=\frac{1}{2}\cdot130=65$.
Общая площадь сечения: $S=32.5+65=97.5=\frac{195}{2}$.
Для $\triangle EFT$: векторное произведение $\overrightarrow{EF}\times\overrightarrow{ET}=(-25, -30\sqrt{2}, 30\sqrt{2})$.
Его модуль: $\sqrt{(-25)^2+(-30\sqrt{2})^2+(30\sqrt{2})^2}=\sqrt{625+1800+1800}=\sqrt{4225}=65$.
Площадь $S_{EFT}=\frac{1}{2}\cdot65=32.5$.
Для $\triangle ETD_1$: векторное произведение $\overrightarrow{ET}\times\overrightarrow{ED_1}=(-50, -60\sqrt{2}, 60\sqrt{2})$.
Его модуль: $\sqrt{(-50)^2+(-60\sqrt{2})^2+(60\sqrt{2})^2}=\sqrt{2500+7200+7200}=\sqrt{16900}=130$.
Площадь $S_{ETD_1}=\frac{1}{2}\cdot130=65$.
Общая площадь сечения: $S=32.5+65=97.5=\frac{195}{2}$.
Окончательный ответ:
$\frac{195}{2}$