Шаг 1
Найдем центральный угол $\alpha$, соответствующий равным хордам $AB = BC = CD = 12$. По формуле хорды: $12 = 2 \cdot 8 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.
Результат:
$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.
Шаг 2
Так как хорды $AB, BC, CD$ равны, им соответствуют равные центральные углы $\alpha$.
Результат:
$\alpha = 2 \arcsin\left(\frac{3}{4}\right)$.
Шаг 3
Центральный угол для хорды $AD$ равен $360^\circ - 3\alpha$. Тогда
$AD = 2 \cdot 8 \sin\left(\frac{360^\circ - 3\alpha}{2}\right) = 16 \sin\left(180^\circ - \frac{3\alpha}{2}\right) = 16 \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right)$.
$AD = 2 \cdot 8 \sin\left(\frac{360^\circ - 3\alpha}{2}\right) = 16 \sin\left(180^\circ - \frac{3\alpha}{2}\right) = 16 \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right)$.
Шаг 4
Используем формулу синуса тройного угла: $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$, где $\theta = \frac{\alpha}{2}$.
Результат:
$\sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) = 3 \cdot \frac{3}{4} - 4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{9}{4} - \frac{27}{16} = \frac{36}{16} - \frac{27}{16} = \frac{9}{16}$.
Шаг 5
Вычисляем $AD$:
Результат:
$AD = 16 \cdot \frac{9}{16} = 9$.
Шаг 6
Докажем параллельность $BC$ и $AD$. Равенство хорд $AB = CD$ влечет равенство стягиваемых ими дуг: $\cup AB = \cup CD$. Вычитая общую дугу $BC$, получаем $\cup ABC = \cup BCD$. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны: $\angle BAD = \angle CDA$. Так как эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AD$, то $BC \parallel AD$.
Окончательный ответ:
\(9\)