Шаг 1
Введем систему координат. Поместим начало в точку $A(0,0,0)$. Ось $x$ направим по $AD$, ось $y$ — перпендикулярно $AD$ в сторону $B$, ось $z$ — по высоте призмы. Дано: $AD=3$, $BC=2$, $\angle ADC = 60^\circ$, трапеция равнобедренная.
Из равнобедренной трапеции: $AH = KD = \frac{AD-BC}{2} = 0.5$. В треугольнике $CDK$: $CK = KD \cdot \tan 60^\circ = 0.5 \sqrt{3}$, $CD = \frac{KD}{\cos 60^\circ} = 1$. Тогда координаты:
$A(0,0,0)$, $B(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D(3,0,0)$.
Высота призмы $h$. Тогда:
$A_1(0,0,h)$, $B_1(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, h)$, $C_1(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, h)$, $D_1(3,0,h)$.
Точка $M$ делит $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1 = 1:2$:
$M = \left(1, 0, h\right)$.
Точка $K$ — середина $DD_1$:
$K = \left(3, 0, \frac{h}{2}\right)$.
Из равнобедренной трапеции: $AH = KD = \frac{AD-BC}{2} = 0.5$. В треугольнике $CDK$: $CK = KD \cdot \tan 60^\circ = 0.5 \sqrt{3}$, $CD = \frac{KD}{\cos 60^\circ} = 1$. Тогда координаты:
$A(0,0,0)$, $B(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D(3,0,0)$.
Высота призмы $h$. Тогда:
$A_1(0,0,h)$, $B_1(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, h)$, $C_1(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, h)$, $D_1(3,0,h)$.
Точка $M$ делит $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1 = 1:2$:
$M = \left(1, 0, h\right)$.
Точка $K$ — середина $DD_1$:
$K = \left(3, 0, \frac{h}{2}\right)$.
Шаг 2
Докажем, что плоскость $MKC$ делит отрезок $B_1B$ пополам. Середина $B_1B$: $L\left(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{h}{2}\right)$.
Найдем уравнение плоскости $MKC$. Векторы:
$\overrightarrow{MK} = (2, 0, -\frac{h}{2})$, $\overrightarrow{MC} = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, -h)$.
Нормальный вектор $\vec{n} = \overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MC}$:
$\vec{n} = \left( \frac{h\sqrt{3}}{4}, \frac{5h}{4}, \sqrt{3} \right)$.
Уравнение плоскости: $\frac{h\sqrt{3}}{4}(x-1) + \frac{5h}{4}y + \sqrt{3}(z-h) = 0$.
Подставим координаты $L$:
$\frac{h\sqrt{3}}{4}(0.5-1) + \frac{5h}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}\left(\frac{h}{2}-h\right) = -\frac{h\sqrt{3}}{8} + \frac{5h\sqrt{3}}{8} - \frac{h\sqrt{3}}{2} = 0$.
Значит, $L$ лежит в плоскости $MKC$, т.е. плоскость делит $B_1B$ пополам.
Найдем уравнение плоскости $MKC$. Векторы:
$\overrightarrow{MK} = (2, 0, -\frac{h}{2})$, $\overrightarrow{MC} = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, -h)$.
Нормальный вектор $\vec{n} = \overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MC}$:
$\vec{n} = \left( \frac{h\sqrt{3}}{4}, \frac{5h}{4}, \sqrt{3} \right)$.
Уравнение плоскости: $\frac{h\sqrt{3}}{4}(x-1) + \frac{5h}{4}y + \sqrt{3}(z-h) = 0$.
Подставим координаты $L$:
$\frac{h\sqrt{3}}{4}(0.5-1) + \frac{5h}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}\left(\frac{h}{2}-h\right) = -\frac{h\sqrt{3}}{8} + \frac{5h\sqrt{3}}{8} - \frac{h\sqrt{3}}{2} = 0$.
Значит, $L$ лежит в плоскости $MKC$, т.е. плоскость делит $B_1B$ пополам.
Шаг 3
Найдем высоту $h$ из условия $\angle MKC = 90^\circ$.
$\overrightarrow{KM} = (-2, 0, \frac{h}{2})$, $\overrightarrow{KC} = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{h}{2})$.
Условие перпендикулярности: $\overrightarrow{KM} \cdot \overrightarrow{KC} = 0$:
$(-2)(-0.5) + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{h}{2} \left(-\frac{h}{2}\right) = 1 - \frac{h^2}{4} = 0 \Rightarrow h^2 = 4 \Rightarrow h = 2$.
$\overrightarrow{KM} = (-2, 0, \frac{h}{2})$, $\overrightarrow{KC} = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{h}{2})$.
Условие перпендикулярности: $\overrightarrow{KM} \cdot \overrightarrow{KC} = 0$:
$(-2)(-0.5) + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{h}{2} \left(-\frac{h}{2}\right) = 1 - \frac{h^2}{4} = 0 \Rightarrow h^2 = 4 \Rightarrow h = 2$.
Шаг 4
Найдем сечение при $h=2$. Плоскость пересекает ребра: уже есть точки $M$, $K$, $C$, $L$. Найдем пересечение с ребром $AA_1$. Пусть $N$ — точка на $AA_1$. Параметризуем: $A(0,0,0)$, $A_1(0,0,2)$, тогда $N(0,0,t)$. Подставим в уравнение плоскости (с $h=2$):
$\frac{2\sqrt{3}}{4}(0-1) + \frac{5 \cdot 2}{4} \cdot 0 + \sqrt{3}(t-2) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}t - 2\sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sqrt{3}t = \frac{5\sqrt{3}}{2} \Rightarrow t = \frac{5}{2}$.
Но $t \in [0,2]$, значит, плоскость не пересекает $AA_1$. Проверим ребро $AB$. Параметризуем: $A(0,0,0)$, $B(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, точка $P(0.5s, \frac{\sqrt{3}}{2}s, 0)$, $s \in [0,1]$. Подставим:
$\frac{2\sqrt{3}}{4}(0.5s-1) + \frac{10}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}s + \sqrt{3}(0-2) = \frac{\sqrt{3}}{2}(0.5s-1) + \frac{5\sqrt{3}}{4}s - 2\sqrt{3} = 0$.
Умножим на $\frac{4}{\sqrt{3}}$: $2(0.5s-1) + 5s - 8 = s - 2 + 5s - 8 = 6s - 10 = 0 \Rightarrow s = \frac{5}{3} > 1$. Значит, плоскость пересекает продолжение $AB$ за точку $B$, но не на отрезке. Аналогично проверяем ребро $A_1B_1$: параметризация $A_1(0,0,2)$, $B_1(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$, точка $Q(0.5u, \frac{\sqrt{3}}{2}u, 2)$, $u \in [0,1]$. Подставляем:
$\frac{2\sqrt{3}}{4}(0.5u-1) + \frac{10}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}u + \sqrt{3}(2-2) = \frac{\sqrt{3}}{2}(0.5u-1) + \frac{5\sqrt{3}}{4}u = 0$.
Умножим на $\frac{4}{\sqrt{3}}$: $2(0.5u-1) + 5u = u - 2 + 5u = 6u - 2 = 0 \Rightarrow u = \frac{1}{3}$. Значит, $Q$ лежит на $A_1B_1$. Тогда $Q\left(\frac{1}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 2\right)$.
Также плоскость пересекает ребро $CC_1$? Точка $C$ уже в сечении, а $C_1$ нет. Проверим прямую $C C_1$: $C(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C_1(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$, параметр $v$: точка $R(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2v)$. Подставляем:
$\frac{2\sqrt{3}}{4}(2.5-1) + \frac{10}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}(2v-2) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1.5 + \frac{5\sqrt{3}}{4} + 2\sqrt{3}v - 2\sqrt{3} = 0$.
Упрощаем: $\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{5\sqrt{3}}{4} + 2\sqrt{3}v - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}v - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}v = 0 \Rightarrow v=0$. Значит, только точка $C$.
Таким образом, сечение — пятиугольник $M Q L C K$ с вершинами:
$M(1,0,2)$, $Q\left(\frac{1}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 2\right)$, $L\left(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$, $C\left(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$, $K(3,0,1)$.
$\frac{2\sqrt{3}}{4}(0-1) + \frac{5 \cdot 2}{4} \cdot 0 + \sqrt{3}(t-2) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}t - 2\sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sqrt{3}t = \frac{5\sqrt{3}}{2} \Rightarrow t = \frac{5}{2}$.
Но $t \in [0,2]$, значит, плоскость не пересекает $AA_1$. Проверим ребро $AB$. Параметризуем: $A(0,0,0)$, $B(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, точка $P(0.5s, \frac{\sqrt{3}}{2}s, 0)$, $s \in [0,1]$. Подставим:
$\frac{2\sqrt{3}}{4}(0.5s-1) + \frac{10}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}s + \sqrt{3}(0-2) = \frac{\sqrt{3}}{2}(0.5s-1) + \frac{5\sqrt{3}}{4}s - 2\sqrt{3} = 0$.
Умножим на $\frac{4}{\sqrt{3}}$: $2(0.5s-1) + 5s - 8 = s - 2 + 5s - 8 = 6s - 10 = 0 \Rightarrow s = \frac{5}{3} > 1$. Значит, плоскость пересекает продолжение $AB$ за точку $B$, но не на отрезке. Аналогично проверяем ребро $A_1B_1$: параметризация $A_1(0,0,2)$, $B_1(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$, точка $Q(0.5u, \frac{\sqrt{3}}{2}u, 2)$, $u \in [0,1]$. Подставляем:
$\frac{2\sqrt{3}}{4}(0.5u-1) + \frac{10}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}u + \sqrt{3}(2-2) = \frac{\sqrt{3}}{2}(0.5u-1) + \frac{5\sqrt{3}}{4}u = 0$.
Умножим на $\frac{4}{\sqrt{3}}$: $2(0.5u-1) + 5u = u - 2 + 5u = 6u - 2 = 0 \Rightarrow u = \frac{1}{3}$. Значит, $Q$ лежит на $A_1B_1$. Тогда $Q\left(\frac{1}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 2\right)$.
Также плоскость пересекает ребро $CC_1$? Точка $C$ уже в сечении, а $C_1$ нет. Проверим прямую $C C_1$: $C(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C_1(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$, параметр $v$: точка $R(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2v)$. Подставляем:
$\frac{2\sqrt{3}}{4}(2.5-1) + \frac{10}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}(2v-2) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1.5 + \frac{5\sqrt{3}}{4} + 2\sqrt{3}v - 2\sqrt{3} = 0$.
Упрощаем: $\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{5\sqrt{3}}{4} + 2\sqrt{3}v - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}v - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}v = 0 \Rightarrow v=0$. Значит, только точка $C$.
Таким образом, сечение — пятиугольник $M Q L C K$ с вершинами:
$M(1,0,2)$, $Q\left(\frac{1}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 2\right)$, $L\left(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$, $C\left(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$, $K(3,0,1)$.
Шаг 5
Вычислим площадь пятиугольника. Разобьем его на треугольник $MKC$ и четырехугольник $M Q L C$ (но это невыпукло). Лучше разбить на треугольники, например, $MQC$ и $CLC$? Более удобно: спроецируем сечение на плоскость, перпендикулярную линии пересечения плоскостей. Однако проще вычислить площадь сечения как сумму площадей двух треугольников: $S = S_{\triangle MKC} + S_{\triangle MLC}$.
Сначала $S_{\triangle MKC}$. Векторы $\overrightarrow{MK} = (2,0,-1)$, $\overrightarrow{MC} = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$. Векторное произведение:
$\overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MC} = \left( 0 \cdot (-2) - (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, \; -[2 \cdot (-2) - (-1) \cdot 1.5], \; 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot 1.5 \right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \; -(-4 + 1.5), \; \sqrt{3} \right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}, \sqrt{3} \right)$.
Его длина: $\sqrt{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 + (\sqrt{3})^2 } = \sqrt{ \frac{3}{4} + \frac{25}{4} + 3 } = \sqrt{ \frac{28}{4} + 3 } = \sqrt{7 + 3} = \sqrt{10}$.
Тогда $S_{\triangle MKC} = \frac{1}{2} \sqrt{10}$.
Теперь $S_{\triangle MLC}$. Векторы: $\overrightarrow{ML} = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$, $\overrightarrow{MC} = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$. Векторное произведение:
$\overrightarrow{ML} \times \overrightarrow{MC} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-2) - (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, \; -[(-0.5) \cdot (-2) - (-1) \cdot 1.5], \; (-0.5) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1.5 \right)$.
Вычисляем координаты:
Первая: $-\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вторая: $-[1 - (-1.5)] = -[1 + 1.5] = -2.5$.
Третья: $-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}$.
Длина: $\sqrt{ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (-2.5)^2 + (-\sqrt{3})^2 } = \sqrt{ \frac{3}{4} + 6.25 + 3 } = \sqrt{ \frac{3}{4} + 9.25 } = \sqrt{ \frac{3}{4} + \frac{37}{4} } = \sqrt{ \frac{40}{4} } = \sqrt{10}$.
Тогда $S_{\triangle MLC} = \frac{1}{2} \sqrt{10}$.
Заметим, что треугольники $MKC$ и $MLC$ имеют общую сторону $MC$, но они не образуют плоский пятиугольник сложением. На самом деле, пятиугольник $MQLCK$ можно разбить на треугольник $MKC$ и четырехугольник $QLCK$. Однако из вычислений видно, что $S_{\triangle MKC} = S_{\triangle MLC}$, и при этом точки $L$ и $K$ лежат по разные стороны от плоскости $MQC$? Проверим компланарность: векторы $\overrightarrow{MQ}$, $\overrightarrow{ML}$, $\overrightarrow{MC}$ не компланарны, поэтому разбиение на два треугольника некорректно. Правильнее разбить пятиугольник на три треугольника: $MQC$, $QLC$, $KLC$.
Вычислим площадь пятиугольника через координаты, используя формулу площади многоугольника в пространстве (через сумму векторных произведений). Выпишем вершины в порядке обхода: $M(1,0,2)$, $Q\left(\frac{1}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 2\right)$, $L\left(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$, $C\left(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$, $K(3,0,1)$.
Вектор нормали к сечению мы уже находили (для плоскости $MKC$), но пятиугольник лежит в этой плоскости. Площадь можно найти как половину модуля суммы векторных произведений:
$2S = | \sum_{i=1}^{5} \vec{r}_i \times \vec{r}_{i+1} |$, где $\vec{r}_i$ — радиус-векторы вершин, $\vec{r}_6 = \vec{r}_1$. Вычисления громоздки, но можно упростить, заметив, что сечение симметрично? Нет.
Вместо этого, спроецируем пятиугольник на плоскость $xOy$ и найдем площадь через проекцию с учетом угла. Уравнение плоскости $MKC$: при $h=2$: $\frac{2\sqrt{3}}{4}(x-1) + \frac{10}{4}y + \sqrt{3}(z-2) = 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}(x-1) + \frac{5}{2}y + \sqrt{3}(z-2) = 0$. Нормаль $\vec{n} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}, \sqrt{3} \right)$. Ее длина: $|\vec{n}| = \sqrt{ \frac{3}{4} + \frac{25}{4} + 3 } = \sqrt{ \frac{28}{4} + 3 } = \sqrt{7+3} = \sqrt{10}$.
Косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и горизонтальной плоскостью $xOy$ (где $z=0$): $\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$.
Площадь проекции $S_{\text{пр}} = S \cos \alpha$. Найдем проекцию пятиугольника на $xOy$. Вершины:
$M'(1,0)$, $Q'\left(\frac{1}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right)$, $L'\left(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $C'\left(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $K'(3,0)$.
Разобьем проекцию на две трапеции: $M'Q'L'C'$ и $L'C'K'$. Однако проще использовать формулу площади многоугольника по координатам вершин в плоскости $xOy$:
$S_{\text{пр}} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$.
Вычислим (вершины в порядке $M', Q', L', C', K'$):
$x_1=1, y_1=0$;
$x_2=\frac{1}{6}, y_2=\frac{\sqrt{3}}{6}$;
$x_3=0.5, y_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x_4=2.5, y_4=\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x_5=3, y_5=0$;
$x_6=x_1=1, y_6=0$.
Сумма:
$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0 = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
$x_2 y_3 - x_3 y_2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{12} - \frac{\sqrt{3}}{12} = 0$.
$x_3 y_4 - x_4 y_3 = 0.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{5\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}$.
$x_4 y_5 - x_5 y_4 = 2.5 \cdot 0 - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$x_5 y_6 - x_6 y_5 = 3 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = 0$.
Сумма: $\frac{\sqrt{3}}{6} + 0 - \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{\sqrt{3}}{6} - \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{6\sqrt{3}}{6} - \frac{9\sqrt{3}}{6} = -\frac{14\sqrt{3}}{6} = -\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
Модуль: $\frac{7\sqrt{3}}{3}$. Тогда $S_{\text{пр}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7\sqrt{3}}{3} = \frac{7\sqrt{3}}{6}$.
Теперь $S = \frac{S_{\text{пр}}}{\cos \alpha} = \frac{7\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{10}}{6}$.
Сначала $S_{\triangle MKC}$. Векторы $\overrightarrow{MK} = (2,0,-1)$, $\overrightarrow{MC} = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$. Векторное произведение:
$\overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MC} = \left( 0 \cdot (-2) - (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, \; -[2 \cdot (-2) - (-1) \cdot 1.5], \; 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot 1.5 \right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \; -(-4 + 1.5), \; \sqrt{3} \right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}, \sqrt{3} \right)$.
Его длина: $\sqrt{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 + (\sqrt{3})^2 } = \sqrt{ \frac{3}{4} + \frac{25}{4} + 3 } = \sqrt{ \frac{28}{4} + 3 } = \sqrt{7 + 3} = \sqrt{10}$.
Тогда $S_{\triangle MKC} = \frac{1}{2} \sqrt{10}$.
Теперь $S_{\triangle MLC}$. Векторы: $\overrightarrow{ML} = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$, $\overrightarrow{MC} = (1.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$. Векторное произведение:
$\overrightarrow{ML} \times \overrightarrow{MC} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-2) - (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, \; -[(-0.5) \cdot (-2) - (-1) \cdot 1.5], \; (-0.5) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1.5 \right)$.
Вычисляем координаты:
Первая: $-\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вторая: $-[1 - (-1.5)] = -[1 + 1.5] = -2.5$.
Третья: $-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}$.
Длина: $\sqrt{ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (-2.5)^2 + (-\sqrt{3})^2 } = \sqrt{ \frac{3}{4} + 6.25 + 3 } = \sqrt{ \frac{3}{4} + 9.25 } = \sqrt{ \frac{3}{4} + \frac{37}{4} } = \sqrt{ \frac{40}{4} } = \sqrt{10}$.
Тогда $S_{\triangle MLC} = \frac{1}{2} \sqrt{10}$.
Заметим, что треугольники $MKC$ и $MLC$ имеют общую сторону $MC$, но они не образуют плоский пятиугольник сложением. На самом деле, пятиугольник $MQLCK$ можно разбить на треугольник $MKC$ и четырехугольник $QLCK$. Однако из вычислений видно, что $S_{\triangle MKC} = S_{\triangle MLC}$, и при этом точки $L$ и $K$ лежат по разные стороны от плоскости $MQC$? Проверим компланарность: векторы $\overrightarrow{MQ}$, $\overrightarrow{ML}$, $\overrightarrow{MC}$ не компланарны, поэтому разбиение на два треугольника некорректно. Правильнее разбить пятиугольник на три треугольника: $MQC$, $QLC$, $KLC$.
Вычислим площадь пятиугольника через координаты, используя формулу площади многоугольника в пространстве (через сумму векторных произведений). Выпишем вершины в порядке обхода: $M(1,0,2)$, $Q\left(\frac{1}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 2\right)$, $L\left(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$, $C\left(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$, $K(3,0,1)$.
Вектор нормали к сечению мы уже находили (для плоскости $MKC$), но пятиугольник лежит в этой плоскости. Площадь можно найти как половину модуля суммы векторных произведений:
$2S = | \sum_{i=1}^{5} \vec{r}_i \times \vec{r}_{i+1} |$, где $\vec{r}_i$ — радиус-векторы вершин, $\vec{r}_6 = \vec{r}_1$. Вычисления громоздки, но можно упростить, заметив, что сечение симметрично? Нет.
Вместо этого, спроецируем пятиугольник на плоскость $xOy$ и найдем площадь через проекцию с учетом угла. Уравнение плоскости $MKC$: при $h=2$: $\frac{2\sqrt{3}}{4}(x-1) + \frac{10}{4}y + \sqrt{3}(z-2) = 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}(x-1) + \frac{5}{2}y + \sqrt{3}(z-2) = 0$. Нормаль $\vec{n} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}, \sqrt{3} \right)$. Ее длина: $|\vec{n}| = \sqrt{ \frac{3}{4} + \frac{25}{4} + 3 } = \sqrt{ \frac{28}{4} + 3 } = \sqrt{7+3} = \sqrt{10}$.
Косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и горизонтальной плоскостью $xOy$ (где $z=0$): $\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$.
Площадь проекции $S_{\text{пр}} = S \cos \alpha$. Найдем проекцию пятиугольника на $xOy$. Вершины:
$M'(1,0)$, $Q'\left(\frac{1}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right)$, $L'\left(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $C'\left(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $K'(3,0)$.
Разобьем проекцию на две трапеции: $M'Q'L'C'$ и $L'C'K'$. Однако проще использовать формулу площади многоугольника по координатам вершин в плоскости $xOy$:
$S_{\text{пр}} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$.
Вычислим (вершины в порядке $M', Q', L', C', K'$):
$x_1=1, y_1=0$;
$x_2=\frac{1}{6}, y_2=\frac{\sqrt{3}}{6}$;
$x_3=0.5, y_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x_4=2.5, y_4=\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x_5=3, y_5=0$;
$x_6=x_1=1, y_6=0$.
Сумма:
$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0 = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
$x_2 y_3 - x_3 y_2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{12} - \frac{\sqrt{3}}{12} = 0$.
$x_3 y_4 - x_4 y_3 = 0.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{5\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}$.
$x_4 y_5 - x_5 y_4 = 2.5 \cdot 0 - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$x_5 y_6 - x_6 y_5 = 3 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = 0$.
Сумма: $\frac{\sqrt{3}}{6} + 0 - \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{\sqrt{3}}{6} - \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{6\sqrt{3}}{6} - \frac{9\sqrt{3}}{6} = -\frac{14\sqrt{3}}{6} = -\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
Модуль: $\frac{7\sqrt{3}}{3}$. Тогда $S_{\text{пр}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7\sqrt{3}}{3} = \frac{7\sqrt{3}}{6}$.
Теперь $S = \frac{S_{\text{пр}}}{\cos \alpha} = \frac{7\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{10}}{6}$.
Окончательный ответ: