Шаг 1
Подставим $y=x$ и $y=-x$ в первое уравнение.
Для $y=-x$: $2x^{2} - (2a+4)x + (5a^{2}+8a+3) = 0$.
Результат:
Для $y=x$: $2x^{2} - (6a+4)x + (5a^{2}+8a+3) = 0$.
Для $y=-x$: $2x^{2} - (2a+4)x + (5a^{2}+8a+3) = 0$.
Шаг 2
Найдем условия, при которых каждое уравнение имеет два различных корня.
Дискриминант второго: $D_{2} = (a+2)^{2} - 2(5a^{2}+8a+3) = -9a^{2} - 12a - 2 > 0 \Rightarrow 9a^{2}+12a+2<0$.
Результат:
Дискриминант первого: $D_{1} = (3a+2)^{2} - 2(5a^{2}+8a+3) = -a^{2} - 4a - 2 > 0 \Rightarrow a^{2}+4a+2<0$.
Дискриминант второго: $D_{2} = (a+2)^{2} - 2(5a^{2}+8a+3) = -9a^{2} - 12a - 2 > 0 \Rightarrow 9a^{2}+12a+2<0$.
Шаг 3
Решим неравенства.
$9a^{2}+12a+2<0 \Rightarrow a \in \left( \frac{-2-\sqrt{2}}{3}, \frac{-2+\sqrt{2}}{3} \right)$.
Результат:
$a^{2}+4a+2<0 \Rightarrow a \in (-2-\sqrt{2}, -2+\sqrt{2})$.
$9a^{2}+12a+2<0 \Rightarrow a \in \left( \frac{-2-\sqrt{2}}{3}, \frac{-2+\sqrt{2}}{3} \right)$.
Шаг 4
Найдем пересечение интервалов.
Результат:
$a \in \left( \frac{-2-\sqrt{2}}{3}, -2+\sqrt{2} \right)$.
Шаг 5
Проверим случай $x=0$, который является корнем обоих уравнений при $y=0$.
Результат:
Это происходит, если $5a^{2}+8a+3=0$, откуда $a=-1$ или $a=-\frac{3}{5}$. При этих $a$ система будет иметь меньше четырёх решений, так как уравнения имеют общий корень $x=0$.
Шаг 6
Исключим эти значения из интервала.
Результат:
$a \in \left( \frac{-2-\sqrt{2}}{3}, -2+\sqrt{2} \right) \setminus \left\{ -1, -\frac{3}{5} \right\}$.
Окончательный ответ:
$\left( \frac{-2-\sqrt{2}}{3}, -2+\sqrt{2} \right) \setminus \left\{ -1, -\frac{3}{5} \right\}$