Шаг 1
Найдём область определения.
$(2-x)>0$ (отсюда $x<2$),
$(x^2+5)>0$ (верно для всех $x$),
$(x^2-5x+6)>0$, то есть $(x-2)(x-3)>0$ (отсюда $x<2$ или $x>3$),
$(4-x)>0$ (отсюда $x<4$).
Пересечение всех условий даёт $x<2$.
Результат:
Основания логарифмов положительны, поэтому:
$(2-x)>0$ (отсюда $x<2$),
$(x^2+5)>0$ (верно для всех $x$),
$(x^2-5x+6)>0$, то есть $(x-2)(x-3)>0$ (отсюда $x<2$ или $x>3$),
$(4-x)>0$ (отсюда $x<4$).
Пересечение всех условий даёт $x<2$.
Шаг 2
Преобразуем неравенство, используя свойство суммы логарифмов.
Результат:
$\log_3((2-x)(x^2+5)) \ge \log_3((x^2-5x+6)(4-x))$.
Шаг 3
Так как логарифмическая функция с основанием $3$ возрастает, переходим к неравенству для аргументов.
Результат:
$(2-x)(x^2+5) \ge (x^2-5x+6)(4-x)$.
Шаг 4
Упростим неравенство.
Левая часть: $2x^2+10 - x^3 -5x = -x^3+2x^2-5x+10$.
Правая часть: $(x^2-5x+6)(4-x) = -x^3+9x^2-26x+24$.
Переносим всё в одну сторону: $(-x^3+2x^2-5x+10) - (-x^3+9x^2-26x+24) \ge 0$, что упрощается до $-7x^2+21x-14 \ge 0$.
Результат:
Раскрываем скобки:
Левая часть: $2x^2+10 - x^3 -5x = -x^3+2x^2-5x+10$.
Правая часть: $(x^2-5x+6)(4-x) = -x^3+9x^2-26x+24$.
Переносим всё в одну сторону: $(-x^3+2x^2-5x+10) - (-x^3+9x^2-26x+24) \ge 0$, что упрощается до $-7x^2+21x-14 \ge 0$.
Шаг 5
Решим полученное квадратное неравенство.
Результат:
Делим на $-7$ (меняем знак неравенства): $x^2-3x+2 \le 0$. Корни квадратного трёхчлена: $x_1=1$, $x_2=2$. Решение: $1 \le x \le 2$.
Шаг 6
Учтём область определения $x<2$.
Результат:
Пересечение $[1, 2]$ и $(-\infty, 2)$ даёт $[1, 2)$.
Окончательный ответ:
$[1,2)$