Шаг 1
Введём координаты.
Пусть $A=(0,0)$, $D=(17,0)$. Тогда $AD=17$.
Пусть $A=(0,0)$, $D=(17,0)$. Тогда $AD=17$.
Шаг 2
Найдём вершины $B$ и $C$.
Так как трапеция равнобедренная и $BC=7$, то смещение вершин от концов $AD$ равно $d=(17-7)/2=5$. Высота $h$ находится из перпендикулярности диагоналей: $h^2 = 5 \cdot 12 = 60$? Проверим: диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, если $h^2 = (AD/2)^2 - (d)^2?$ Лучше вычислим: $B=(5,h)$, $C=(12,h)$. Диагонали $AC=(12,h)$ и $BD=(12,-h)$. Их скалярное произведение: $144 - h^2 = 0 \Rightarrow h=12$.
Так как трапеция равнобедренная и $BC=7$, то смещение вершин от концов $AD$ равно $d=(17-7)/2=5$. Высота $h$ находится из перпендикулярности диагоналей: $h^2 = 5 \cdot 12 = 60$? Проверим: диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, если $h^2 = (AD/2)^2 - (d)^2?$ Лучше вычислим: $B=(5,h)$, $C=(12,h)$. Диагонали $AC=(12,h)$ и $BD=(12,-h)$. Их скалярное произведение: $144 - h^2 = 0 \Rightarrow h=12$.
Результат:
$B=(5,12)$, $C=(12,12)$, $h=12$.
Шаг 3
Окружность с диаметром $AD$: центр $O_1=(8.5,0)$, радиус $R_1=8.5$. Она пересекает $CD$ в точке $M$ (кроме $D$). Уравнение $CD$: $\frac{x-17}{-5} = \frac{y}{12} \Rightarrow y = -\frac{12}{5}(x-17)$. Подставим в уравнение окружности $(x-8.5)^2 + y^2 = 8.5^2$. Решая, находим $M=(12,12)$? Это точка $C$, но $M$ лежит на $CD$ и отлична от $D$ и $C$. Проверим: при $x=12$, $y=12$ — это $C$, но $C$ не лежит на окружности с диаметром $AD$, так как $(12-8.5)^2+12^2=3.5^2+144=156.25 \neq 72.25$. Решим правильно:
$(x-8.5)^2 + \left(-\frac{12}{5}(x-17)\right)^2 = 72.25$.
Упрощаем: $(x-8.5)^2 + \frac{144}{25}(x-17)^2 = 72.25$.
Умножим на 25: $25(x-8.5)^2 + 144(x-17)^2 = 1806.25$.
Раскрываем: $25(x^2-17x+72.25) + 144(x^2-34x+289) = 1806.25$.
$25x^2 -425x + 1806.25 + 144x^2 -4896x + 41616 = 1806.25$.
$169x^2 -5321x + 43422.25 = 1806.25$.
$169x^2 -5321x + 41616 = 0$.
Делим на 13: $13x^2 -409x + 3200=0$.
Дискриминант: $409^2 - 4\cdot13\cdot3200 = 167281 - 166400 = 881$.
$x = \frac{409 \pm \sqrt{881}}{26}$.
$\sqrt{881} \approx 29.68$, тогда $x_1 \approx \frac{409+29.68}{26} \approx 16.87$, $x_2 \approx \frac{409-29.68}{26} \approx 14.59$.
Точка $M$ на отрезке $CD$: $x$ между 12 и 17. Подходит $x_2 \approx 14.59$. Тогда $y = -\frac{12}{5}(14.59-17) = -\frac{12}{5}(-2.41) \approx 5.784$.
Но для дальнейшего точные координаты $M$ не понадобятся, так как $P$ определяется проще.
$(x-8.5)^2 + \left(-\frac{12}{5}(x-17)\right)^2 = 72.25$.
Упрощаем: $(x-8.5)^2 + \frac{144}{25}(x-17)^2 = 72.25$.
Умножим на 25: $25(x-8.5)^2 + 144(x-17)^2 = 1806.25$.
Раскрываем: $25(x^2-17x+72.25) + 144(x^2-34x+289) = 1806.25$.
$25x^2 -425x + 1806.25 + 144x^2 -4896x + 41616 = 1806.25$.
$169x^2 -5321x + 43422.25 = 1806.25$.
$169x^2 -5321x + 41616 = 0$.
Делим на 13: $13x^2 -409x + 3200=0$.
Дискриминант: $409^2 - 4\cdot13\cdot3200 = 167281 - 166400 = 881$.
$x = \frac{409 \pm \sqrt{881}}{26}$.
$\sqrt{881} \approx 29.68$, тогда $x_1 \approx \frac{409+29.68}{26} \approx 16.87$, $x_2 \approx \frac{409-29.68}{26} \approx 14.59$.
Точка $M$ на отрезке $CD$: $x$ между 12 и 17. Подходит $x_2 \approx 14.59$. Тогда $y = -\frac{12}{5}(14.59-17) = -\frac{12}{5}(-2.41) \approx 5.784$.
Но для дальнейшего точные координаты $M$ не понадобятся, так как $P$ определяется проще.
Шаг 4
Окружность с диаметром $CD$: центр $O_2=\left(\frac{12+17}{2}, \frac{12+0}{2}\right) = (14.5,6)$, радиус $R_2 = \frac{1}{2}\sqrt{5^2+12^2}=6.5$. Она пересекает $AD$ в точке $N$. На $AD$: $y=0$. Уравнение окружности: $(x-14.5)^2 + (y-6)^2 = 42.25$. Подставляем $y=0$: $(x-14.5)^2 + 36 = 42.25 \Rightarrow (x-14.5)^2 = 6.25 \Rightarrow x-14.5 = \pm 2.5$.
$x=17$ (точка $D$) или $x=12$. Значит, $N=(12,0)$.
$x=17$ (точка $D$) или $x=12$. Значит, $N=(12,0)$.
Шаг 5
Найдём точку $P$ пересечения $AM$ и $CN$.
Прямая $CN$ проходит через $C=(12,12)$ и $N=(12,0)$ — это вертикальная прямая $x=12$.
Прямая $AM$ проходит через $A=(0,0)$ и $M$. Но нам не нужно точное $M$, так как $P$ лежит на $x=12$. Найдём координату $y$ точки пересечения $AM$ и $x=12$.
Уравнение $AM$: параметризуем от $A$ к $M$. Но заметим, что $P$ — это пересечение $AM$ и $CN$, а $CN$ — вертикаль $x=12$. Значит, $P_x=12$. Остаётся найти $P_y$.
Рассмотрим треугольник $ACD$. Точки $M$ и $N$ определены так, что $AM$ и $CN$ — высоты? Проверим: $AD$ — диаметр первой окружности, значит, $\angle AMD = 90^\circ$, так что $AM \perp MD$. Аналогично, $CD$ — диаметр второй окружности, значит, $\angle CND = 90^\circ$, так что $CN \perp ND$. Тогда в треугольнике $ACD$ отрезки $AM$ и $CN$ — высоты (поскольку $M$ на $CD$, $N$ на $AD$). Их пересечение $P$ — ортоцентр треугольника $ACD$. Третья высота проходит через $C$ и перпендикулярна $AD$, но это вертикаль через $C$? На самом деле, $C=(12,12)$, $AD$ горизонтальна, так что высота из $C$ на $AD$ — это вертикаль $x=12$, которая и есть $CN$. Значит, $CN$ уже является высотой. Тогда $P$ лежит на $CN$, что мы и имеем.
Чтобы найти $P_y$, найдём уравнение $AM$. Так как $AM \perp MD$, а $M$ лежит на $CD$, можно найти угловой коэффициент. Но проще: $P$ — ортоцентр треугольника $ACD$. Координаты: $A=(0,0)$, $C=(12,12)$, $D=(17,0)$. Высота из $A$ проходит через $A$ и перпендикулярна $CD$. Вектор $CD = (5,-12)$, значит, вектор высоты из $A$ имеет направление $(12,5)$ (перпендикулярно). Уравнение высоты из $A$: $x/12 = y/5$, или $y = \frac{5}{12}x$. Эта высота пересекает $CN$ ($x=12$) при $y = \frac{5}{12}\cdot 12 = 5$.
Таким образом, $P=(12,5)$.
Прямая $CN$ проходит через $C=(12,12)$ и $N=(12,0)$ — это вертикальная прямая $x=12$.
Прямая $AM$ проходит через $A=(0,0)$ и $M$. Но нам не нужно точное $M$, так как $P$ лежит на $x=12$. Найдём координату $y$ точки пересечения $AM$ и $x=12$.
Уравнение $AM$: параметризуем от $A$ к $M$. Но заметим, что $P$ — это пересечение $AM$ и $CN$, а $CN$ — вертикаль $x=12$. Значит, $P_x=12$. Остаётся найти $P_y$.
Рассмотрим треугольник $ACD$. Точки $M$ и $N$ определены так, что $AM$ и $CN$ — высоты? Проверим: $AD$ — диаметр первой окружности, значит, $\angle AMD = 90^\circ$, так что $AM \perp MD$. Аналогично, $CD$ — диаметр второй окружности, значит, $\angle CND = 90^\circ$, так что $CN \perp ND$. Тогда в треугольнике $ACD$ отрезки $AM$ и $CN$ — высоты (поскольку $M$ на $CD$, $N$ на $AD$). Их пересечение $P$ — ортоцентр треугольника $ACD$. Третья высота проходит через $C$ и перпендикулярна $AD$, но это вертикаль через $C$? На самом деле, $C=(12,12)$, $AD$ горизонтальна, так что высота из $C$ на $AD$ — это вертикаль $x=12$, которая и есть $CN$. Значит, $CN$ уже является высотой. Тогда $P$ лежит на $CN$, что мы и имеем.
Чтобы найти $P_y$, найдём уравнение $AM$. Так как $AM \perp MD$, а $M$ лежит на $CD$, можно найти угловой коэффициент. Но проще: $P$ — ортоцентр треугольника $ACD$. Координаты: $A=(0,0)$, $C=(12,12)$, $D=(17,0)$. Высота из $A$ проходит через $A$ и перпендикулярна $CD$. Вектор $CD = (5,-12)$, значит, вектор высоты из $A$ имеет направление $(12,5)$ (перпендикулярно). Уравнение высоты из $A$: $x/12 = y/5$, или $y = \frac{5}{12}x$. Эта высота пересекает $CN$ ($x=12$) при $y = \frac{5}{12}\cdot 12 = 5$.
Таким образом, $P=(12,5)$.
Шаг 6
Рассмотрим четырёхугольник $ABCP$.
Вычислим длины сторон:
$AB = \sqrt{5^2+12^2} = 13$,
$BC = 7$,
$CP = \sqrt{(12-12)^2 + (12-5)^2} = 7$,
$PA = \sqrt{(12-0)^2 + (5-0)^2} = 13$.
Получаем: $AB=13$, $BC=7$, $CP=7$, $PA=13$.
Суммы противоположных сторон: $AB+CP=13+7=20$, $BC+PA=7+13=20$. Они равны, значит, в $ABCP$ можно вписать окружность.
Вычислим длины сторон:
$AB = \sqrt{5^2+12^2} = 13$,
$BC = 7$,
$CP = \sqrt{(12-12)^2 + (12-5)^2} = 7$,
$PA = \sqrt{(12-0)^2 + (5-0)^2} = 13$.
Получаем: $AB=13$, $BC=7$, $CP=7$, $PA=13$.
Суммы противоположных сторон: $AB+CP=13+7=20$, $BC+PA=7+13=20$. Они равны, значит, в $ABCP$ можно вписать окружность.
Шаг 7
Найдём радиус вписанной окружности.
Площадь $\Delta$ четырёхугольника $ABCP$ найдём как сумму площадей треугольников $ABC$ и $ACP$ (или разбиением).
Координаты: $A(0,0)$, $B(5,12)$, $C(12,12)$, $P(12,5)$.
Площадь через координаты:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| x_A y_B + x_B y_C + x_C y_P + x_P y_A - (y_A x_B + y_B x_C + y_C x_P + y_P x_A) \right|$.
Подставляем:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| 0\cdot12 + 5\cdot12 + 12\cdot5 + 12\cdot0 - (0\cdot5 + 12\cdot12 + 12\cdot12 + 5\cdot0) \right|$
$= \frac{1}{2} \left| 0+60+60+0 - (0+144+144+0) \right|$
$= \frac{1}{2} \left| 120 - 288 \right| = \frac{1}{2} \cdot 168 = 84$.
Периметр $p = AB+BC+CP+PA = 13+7+7+13 = 40$.
Полупериметр $s = 20$.
Радиус вписанной окружности: $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{84}{20} = 4.2$.
Площадь $\Delta$ четырёхугольника $ABCP$ найдём как сумму площадей треугольников $ABC$ и $ACP$ (или разбиением).
Координаты: $A(0,0)$, $B(5,12)$, $C(12,12)$, $P(12,5)$.
Площадь через координаты:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| x_A y_B + x_B y_C + x_C y_P + x_P y_A - (y_A x_B + y_B x_C + y_C x_P + y_P x_A) \right|$.
Подставляем:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| 0\cdot12 + 5\cdot12 + 12\cdot5 + 12\cdot0 - (0\cdot5 + 12\cdot12 + 12\cdot12 + 5\cdot0) \right|$
$= \frac{1}{2} \left| 0+60+60+0 - (0+144+144+0) \right|$
$= \frac{1}{2} \left| 120 - 288 \right| = \frac{1}{2} \cdot 168 = 84$.
Периметр $p = AB+BC+CP+PA = 13+7+7+13 = 40$.
Полупериметр $s = 20$.
Радиус вписанной окружности: $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{84}{20} = 4.2$.
Окончательный ответ:
4.2