Шаг 1
Применяем свойство логарифмов: $\log_{7} A - \log_{7} B = \log_{7} \left( \frac{A}{B} \right)$.
Результат:
Неравенство принимает вид $\log_{7} \left( \frac{2x^{2}+12}{x^{2}-x+12} \right) \ge \log_{7} \left( 2 - \frac{1}{x} \right)$.
Шаг 2
Так как основание $7 > 1$, логарифмическая функция возрастает. Это неравенство равносильно системе: $\frac{2x^{2}+12}{x^{2}-x+12} \ge 2 - \frac{1}{x}$ и аргументы логарифмов положительны.
Результат:
Основное условие: $\frac{2x^{2}+12}{x^{2}-x+12} \ge 2 - \frac{1}{x}$.
Шаг 3
Переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю.
Результат:
$\frac{2x^{2}+12}{x^{2}-x+12} - \left( 2 - \frac{1}{x} \right) \ge 0 \Rightarrow \frac{2x^{2}+12 - \left( 2 - \frac{1}{x} \right)(x^{2}-x+12)}{x^{2}-x+12} \ge 0$.
Шаг 4
Упрощаем числитель. Заметим, что знаменатель $x^{2}-x+12 > 0$ при всех $x$, так как его дискриминант отрицателен. Поэтому знак дроби определяется знаком числителя.
Результат:
Числитель после упрощения: $\frac{3x^{2}-13x+12}{x}$. Исходное неравенство сводится к $\frac{3x^{2}-13x+12}{x} \ge 0$.
Шаг 5
Решаем полученное неравенство. Находим нули числителя: $3x^{2}-13x+12=0 \Rightarrow x=\frac{4}{3}$ и $x=3$. Также $x \neq 0$.
Результат:
Критические точки: $x=0$, $x=\frac{4}{3}$, $x=3$.
Шаг 6
Учитываем область определения исходного неравенства. Аргументы логарифмов должны быть положительны: $2x^{2}+12 > 0$ (выполнено всегда), $x^{2}-x+12 > 0$ (выполнено всегда), $2 - \frac{1}{x} > 0$.
Результат:
Условие $2 - \frac{1}{x} > 0$ эквивалентно $\frac{2x-1}{x} > 0$, откуда $x \in \left( -\infty, 0 \right) \cup \left( \frac{1}{2}, +\infty \right)$.
Шаг 7
Объединяем решение неравенства $\frac{3x^{2}-13x+12}{x} \ge 0$ с областью определения. Методом интервалов для $x>0$ получаем: на $\left(0, \frac{4}{3}\right]$ выражение $\ge 0$, на $\left(\frac{4}{3}, 3\right)$ выражение $< 0$, на $[3, +\infty)$ выражение $\ge 0$. Учитывая ОДЗ $x > \frac{1}{2}$, берём $\left( \frac{1}{2}, \frac{4}{3} \right] \cup [3, +\infty)$. Для $x<0$ числитель $3x^{2}-13x+12 > 0$, знаменатель $x < 0$, значит, дробь отрицательна и неравенство не выполняется.
Результат:
Решением является объединение интервалов $\left( \frac{1}{2}, \frac{4}{3} \right] \cup [3, +\infty)$.
Окончательный ответ:
$\left( \frac{1}{2}, \frac{4}{3} \right] \cup [3, +\infty)$.